[NOIP2002 普及组] 选数

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题目描述

已知 $n$ 个整数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，以及 $1$ 个整数 $k$（$k<n$）。从 $n$ 个整数中任选 $k$ 个整数相加，可分别得到一系列的和。例如当 $n=4$，$k=3$，$4$ 个整数分别为 $3,7,12,19$ 时，可得全部的组合与它们的和为：

$3+7+12=22$

$3+7+19=29$

$7+12+19=38$

$3+12+19=34$

现在，要求你计算出和为素数共有多少种。

例如上例，只有一种的和为素数：$3+7+19=29$。

输入格式

第一行两个空格隔开的整数 $n,k$（$1\le n\le 20$，$k<n$）。

第二行 $n$ 个整数，分别为 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$（$1\le x_i\le 5\times 10^6$）。

输出格式

输出一个整数，表示种类数。

输入输出样例

输入 #1

4 3
3 7 12 19

输出 #1

1

提示

【题目来源】

NOIP 2002 普及组第二题

解法1.子集枚举

1.1.题意解析

    这道题数据量并不是很大，可以考虑用暴力枚举。这里使用子集枚举的方法。我们这一篇文章的主角是深搜，就不多讲了，具体细节请看代码。

1.2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[30];
bool check(int x)//判断是否是质数的函数 
{
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
	    if(x%i==0)
	        return 0;
	return 1;
}
int main()
{
	int n,k,ans=0;
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    cin>>a[i];
	int U=1<<n;//U-1即为全集
	for(int S=0;S<U;S++)//从空集枚举到全集
		if(__builtin_popcount(S)==k)//找到k元子集
		{
			int sum=0;//k元子集之和 
			for(int i=1;i<=n;i++)
			    if(S&1<<(i-1))//如果这个元素属于k元子集
			        sum+=a[i];
			if(check(sum))//是质数结果就+1
			    	ans++;
		}
	cout<<ans;
	return 0;
}

解法2.深度优先搜索

2.1.题意解析

    接下来有请我们的主角——深度优先搜索（DFS）。

    这道题其实直接套深搜的模版就行了。但是现在有一个问题，怎样去重？有两种方法，一是定义一个bool类型的数组，储存每个数是否被取过。相信大家都会写，我就不再说了。二是每一次枚举都从上一次枚举选出的数的位置+1开始枚举，但是要注意后面要预留空间，进行下一次取数。这里也不多说，直接看代码。

2.2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k,n,sum,ans,a[30];//用sum记录当前选出来的数的和,用ans记录方法数 
bool is_prime(int x)//判断是否是质数的函数 
{
	if(x<2)return 0;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
	    if(x%i==0)
	        return 0;
	return 1;
}
void dfs(int x,int prev_point)//prev_point代表上一层选的数的位置
{
	if(x>k)//选出了k个数 
	{
		if(is_prime(sum))//和是质数答案就加一
			ans++;
		return;
	}
	for(int i=prev_point+1;i<=n+x-k;i++)
	//从上一个数的后一个位置开始枚举,后面至少要留n+x-k个数进行下一次选取
	{
		sum+=a[i];//保存现场
		dfs(x+1,i);//递归下一层
		sum-=a[i];//恢复现场
	}
}
int main()
{
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    dfs(1,0);//第1个数的上一个位置是0 
    cout<<ans;
	return 0;
}

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