对于一个神经网络我们知道，归一化输入特征是加速网络训练的技巧之一，因为归一化后，损失函数的图像就会由狭长变得更圆，那么这是否启发我们，在深度更深模型中，对各层的输出进行归一化，有益于下一层的学习？毕竟上一层的输出是下一层的输入。这就是Batch Norm的核心作用。

        由于每一层的参数更新后，对于同一输入，输出的分布就会发生改变（这称之为Covariate shift：内部协变量偏移），这带来的影响是下一层需要不断适应上一层输出的分布，从而导致下一层与上一层之间的联系紧密（有点过拟合的意思），通过归一化就可以加强层与层之间的独立性，从而加速网络的学习。

1.Batch Norm的计算方式

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        在此先讲讲Batch Norm和Mini-batch之间的关系。Mini-batch是Mini-batch梯度下降法的训练集的最小划分子集，而Batch Norm需要在Mini-batch上运行，即需要计算每一个Mini-batch的均值、方差，然后进行归一化。

深度学习基础—梯度问题与Mini-batch 梯度下降http://t.csdnimg.cn/EBmIH

（1）计算Mini-batch 的均值

        其中，m为Mini-batch 上样本的数量。

（2）计算Mini-batch 的方差

        其中，m为Mini-batch 上样本的数量，注意是先平方再求和。

（3）归一化

        其中，z[l]是本层的输入经过w和b的计算结果，分母的ℇ是很小的一个数，防止分母为0。通过这样可以将z[l]归一化，从而化为均值为0，方差为1的分布。

（4）线性组合

        其中，γ和β是网络的参数，即和w、b一样需要经过训练更新值，从而适应网络。当γ=步骤（3）的分母，β=μ时，本步的结果是一个恒等式。

        为了加强网络的学习能力，使用这两个参数来改变分布的平均值。如果没有这两个参数，那么相当于所有的都暴力归一化，而我们知道类似sigmoid激活函数的图像如下，在靠近0的位置图像近似等于线性函数，那么网络的表达能力就会大大减弱，因此通过这两个网络参数加强网络的学习能力。

2.Batch Norm在网络中的具体应用

        如上图所示的网络，在没有进行归一化前，每层隐含层的计算是在下图中去除红框的剩余部分，g(z)是激活函数。在权重的线性组合后，激活函数前添加归一化的计算（为什么不在激活函数后添加，这点一直饱受争议，这里选择这种方式，无论是哪种方式，只要能对网络训练有帮助，就是不错的方法）。

        对于每一层隐含层，向前传播就是按照上图的流程进行计算，直到计算出损失，向后传播的过程中，可以使用优化算法：mini-batch梯度下降、动量梯度下降、Adam等等，对参数γ和β进行和w、b一样的更新方式。这里简化流程，使用mini-batch梯度下降，算法流程如下：

for i = 1......t{
    对X{i}向前传播
        在每个隐含层计算z[l]，并用BN归一化
    计算带有正则项的损失函数
    向后传播，计算dw、db、dγ、dβ
        更新参数：w:=w-a*dw;
                 b:=b-a*db;
                 γ:=γ-a*dγ;
                 β:=β-a*dβ;
}

        实际上，在网络的训练过程中，参数b和参数β发生了冲突，两者的作用相似。因为z=w*x+b，计算的平均值μ中就包含常数b，那在归一化步骤（3）中分子又减去了平均值，即减去了b。同时在步骤（4）中添加了参数β，此时b不发挥作用，发挥作用的是β。因此，实际训练中，为了减少参数个数，可以选择去除参数b，那么在优化算法是也可以不再优化这个参数。

3.Batch Norm在测试集的具体应用

        在测试集中，为了预测某个样本的输出结果，需要单独处理样本。这样就引入一个问题，单个样本的均值和方差没有意义，因此使用Batch Norm起不了作用，这就需要我们估计平均值和方差，于是可以使用指数加权移动平均值算法来进行估计。

        在训练网络的时候，我们可以运用指数加权移动平均值获得整个训练集的各层平均值μ[t][l]、方差σ[t][l]和z[t][l]（t为Mini-batch的序号，l为层的序号），在测试的时候，用这些估值计算z[t][l]norm，从而计算测试样本的输出。这样做的本质其实是实现测试集和训练集来自同一分布的要求，因为在训练集都实现了Batch Norm，所以也要在测试集实现Batch Norm。        

4.如何理解Batch Norm

        （1）Batch Norm可以对每一层的输出进行归一化，这样每一层的输入就更加稳定，从而可以选择较大的学习率加速网络的训练。

        （2）减少过拟合风险，提高模型泛化能力，同时让各层保持相对独立，提高学习能力。这就像抄作业，学霸每次给的作业如果详细程度不一样，比如这次给详细版，下次只给有关键词的，那么学渣就会特别依赖学霸，因为学渣无法从抄作业中获取如何解题的思路。但是如果学霸每次都给学渣详细版或简略版作业，由于作业风格一致，学渣就能从多次作业中找到作业的风格（至少可以学会些如何解题的规律或模版），从而提高学渣独立思考的能力。

        （3）类似dropout，dropout随机消除神经元，从而为网络添加噪音，让神经元不再相互依赖。而Batch Norm由于对均值的缩放和在mini-batch上计算，也会为网络添加噪音，同时让各层相对独立，不再相互依赖。因此有一定的正则化效果，减轻过拟合。但是不要把这种方法当做正则化的手段，而是加速学习的技巧。