阻尼谐振子
在本节中，我们将描述一种解析技术，它适用于本书中最重要的模型之一——阻尼谐振子。这一二阶微分方程用于建模各种现象，如质量-弹簧系统、电路理论中的RLC电路，以及人体的血糖调节系统。
例如，考虑汽车的悬挂系统。它可以平滑崎岖道路上的颠簸，并帮助保持轮胎与地面的接触。我们主要关注悬挂中的弹簧和减震器（见图2.34和2.35）。弹簧吸收由路面颠簸引起的力，并保持轮胎与道路接触。减震器由一个活塞组成，该活塞在油液的储液池中移动。油液减缓了活塞和弹簧的运动（见图2.36）。因此，它吸收了由颠簸引起的力。
我们从第2.1节中讨论的简单谐振子开始。如前所述，我们用 y ( t ) y(t) y(t) 表示从弹簧的静止位置测量的质量的位置。无阻尼的谐振子方程是
m d 2 y d t 2 = − k y , m \frac{d^2 y}{dt^2} = -ky, mdt2d2y=−ky,
其中 m m m 是质量， k k k 是弹簧常数。
阻尼谐振子的方程
在第2.1节和第2.2节中，我们看到这个方程的解涉及到正弦函数和余弦函数。这些解永远以恒定的振幅振荡，因此它们对应于永恒运动。为了使模型更具现实性，我们引入某种形式的摩擦或阻尼。阻尼力会减慢运动，从系统中耗散能量。一个包括空气阻力和摩擦力的现实模型非常复杂，因为摩擦是一个令人惊讶的微妙现象。*在这个模型中，我们将所有阻尼力集中在一起，并假设这种力的强度与速度成正比。因此，阻尼力表示为
− b ( d y d t ) , -b \left(\frac{dy}{dt}\right), −b(dtdy),
其中 b > 0 b > 0 b>0 被称为阻尼系数。负号表示阻尼力与运动方向相反，总是减小速度。参数 b b b 可以通过调整质量运动的介质的粘度（例如，通过将整个机制放入浴缸中）来调整。
为了获得新的模型，我们使用牛顿第二定律，得到
− k y − b d y d t = m d 2 y d t 2 , -ky - b \frac{dy}{dt} = m \frac{d^2 y}{dt^2}, −ky−bdtdy=mdt2d2y,
通常写作
m d 2 y d t 2 + b d y d t + k y = 0. m \frac{d^2 y}{dt^2} + b \frac{dy}{dt} + ky = 0. mdt2d2y+bdtdy+ky=0.
这个二阶微分方程称为阻尼谐振子。为了简化符号，我们通常令 p = b m p = \frac{b}{m} p=mb 和 q = k m q = \frac{k}{m}
