全国大学生数学建模比赛——时间序列（详细解读）

全国大学生数学建模比赛中，时间序列分析是一种重要的方法。以下是对时间序列在该比赛中的详细解读：

一、时间序列的概念

时间序列是按时间顺序排列的一组数据。在数学建模中，时间序列数据通常反映了某个现象随时间的变化情况。例如，股票价格的历史数据、气温的逐天记录、销售额的逐月数据等都是时间序列。

二、时间序列分析的目的

预测未来值：通过对历史数据的分析，建立合适的模型来预测未来的时间序列值。这在很多实际问题中都非常重要，比如预测产品的销售量、股票价格走势等。
了解数据的特征：分析时间序列的趋势、季节性、周期性等特征，以便更好地理解所研究的现象。
评估模型的有效性：通过对模型的评估，确定其在预测和解释时间序列数据方面的准确性和可靠性。

三、时间序列分析的步骤

数据收集与预处理
- 收集相关的时间序列数据，并进行初步的检查和清理，确保数据的准确性和完整性。
- 可能需要对数据进行平稳化处理，去除趋势和季节性等因素，以便更好地进行建模。
模型选择与建立
- 根据时间序列的特征和问题的要求，选择合适的时间序列模型。常见的模型包括自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）、自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）等。
- 确定模型的参数，可以通过最小二乘法、极大似然估计等方法进行估计。
模型评估与诊断
- 对建立的模型进行评估，常用的评估指标包括均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）、平均绝对百分比误差（MAPE）等。
- 进行模型诊断，检查模型是否满足假设条件，如残差是否为白噪声等。
预测与应用
- 使用经过评估和诊断的模型进行预测，得到未来时间序列的值。
- 根据预测结果，为实际问题提供决策支持。

四、时间序列分析的注意事项

数据质量：确保时间序列数据的质量是进行有效分析的基础。要注意数据的准确性、完整性和一致性。
模型选择：不同的时间序列模型适用于不同的情况，要根据数据的特征和问题的要求选择合适的模型。
模型假设：在建立时间序列模型时，要注意模型的假设条件，并进行适当的诊断和检验。
预测局限性：时间序列预测存在一定的局限性，预测结果只是基于历史数据的一种估计，实际情况可能会发生变化。
结果解释：对时间序列分析的结果要进行合理的解释，结合实际问题的背景和知识，避免单纯依赖数学模型。

数据例样：

"Month","Sales"
"1-01",266.0
"1-02",145.9
"1-03",183.1
"1-04",119.3
"1-05",180.3
"1-06",168.5
"1-07",231.8
"1-08",224.5
"1-09",192.8
"1-10",122.9
"1-11",336.5
"1-12",185.9
"2-01",194.3
"2-02",149.5
"2-03",210.1
"2-04",273.3
"2-05",191.4
"2-06",287.0
"2-07",226.0
"2-08",303.6
"2-09",289.9
"2-10",421.6
"2-11",264.5
"2-12",342.3
"3-01",339.7
"3-02",440.4
"3-03",315.9
"3-04",439.3
"3-05",401.3
"3-06",437.4
"3-07",575.5
"3-08",407.6
"3-09",682.0
"3-10",475.3
"3-11",581.3
"3-12",646.9

分析代码：

一、数据读取与预处理

data = pd.read_csv('shampoo.csv')
data['Month'] = pd.to_datetime(data['Month'], format='%m-%d')
data['Month'] = pd.to_datetime(data['Month'], format='%y-%m', yearfirst=True).dt.strftime('2024-%m')
print(data)
data.set_index('Month', inplace=True)

这段代码首先从 “shampoo.csv” 文件中读取数据并存储在data这个DataFrame中。然后对 “Month” 列进行两次格式转换，第一次将其转为日期类型，第二次将格式转换为 “2024-% m” 的形式，并将 “Month” 列设置为索引，方便后续基于时间的操作。

二、绘制原始时序图及平稳性检测

绘制时序图

data.plot(figsize=(10, 6))
plt.xlabel('Month')
plt.ylabel('Sales')
plt.title('Time Series of Sales')
plt.show()

通过调用data.plot()绘制了原始数据的时序图，设置了图形的大小为(10, 6)，并添加了横轴标签 “Month”、纵轴标签 “Sales” 和标题 “Time Series of Sales”，最后显示图形，以便直观地观察销售额随时间的变化情况。

绘制自相关图和偏相关图

plot_acf(data, lags=9)
plt.title('Autocorrelation Plot')
plt.show()

plot_pacf(data, lags=9)
plt.title('Partial Autocorrelation Plot')
plt.show()

分别绘制了原始数据的自相关图和偏相关图，设置滞后阶数为 9，通过这两个图可以初步分析时间序列的自相关性和偏自相关性，为选择合适的时间序列模型提供参考。

ADF 检验

adf_result = adfuller(data['Sales'])
print('ADF Statistic:', adf_result[0])
print('p-value:', adf_result[1])
print('Critical Values:', adf_result[4])

进行了 ADF（Augmented Dickey-Fuller）检验，以判断原始时间序列数据的平稳性。输出了检验统计量、p 值和临界值，通常如果 p 值小于一定的显著性水平（如 0.05），则可以认为序列是平稳的。

三、差分处理及再次检测平稳性

差分处理

diff_data = data.diff().dropna()

对原始数据进行一阶差分处理，并去除产生的缺失值。差分可以消除时间序列中的趋势和季节性，使序列更趋于平稳。

绘制差分后的时序图

diff_data.plot(figsize=(10, 6))
plt.xlabel('Month')
plt.ylabel('Sales (Differenced)')
plt.title('Differenced Time Series of Sales')
plt.show()

绘制差分后数据的时序图，观察差分后的序列变化情况，此时的纵轴标签变为 “Sales (Differenced)”，标题也相应地变为 “Differenced Time Series of Sales”。

绘制差分后的自相关图和偏相关图

plot_acf(diff_data, lags=9)
plt.title('Autocorrelation Plot (Differenced)')
plt.show()

plot_pacf(diff_data, lags=9)
plt.title('Partial Autocorrelation Plot (Differenced)')
plt.show()

再次绘制差分后数据的自相关图和偏相关图，以进一步分析差分后序列的相关性特征。

ADF 检验（差分后）

adf_result_diff = adfuller(diff_data['Sales'])
print('ADF Statistic (Differenced):', adf_result_diff[0])
print('p-value (Differenced):', adf_result_diff[1])
print('Critical Values (Differenced):', adf_result_diff[4])

对差分后的序列进行 ADF 检验，确认差分后的序列是否平稳。输出了差分后的检验统计量、p 值和临界值。

四、使用 ARIMA 模型建模与预测

建模

model = ARIMA(data, order=(1, 1, 1))
model_fit = model.fit()

使用ARIMA模型对原始数据进行建模，指定模型的阶数为(1, 1, 1)，即自回归阶数为 1、差分阶数为 1、移动平均阶数为 1。然后对模型进行拟合。

打印模型概要信息

print(model_fit.summary())

输出模型的概要信息，包括模型的参数估计、标准误差、t 值、p 值等，这些信息可以帮助评估模型的有效性和可靠性。

预测未来销售额

forecast_steps = 5
forecast = model_fit.forecast(steps=5)
last_month = data.index[-1]
future_months = pd.date_range(start=last_month, periods=forecast_steps + 1, freq='M')[1:]
forecast_df = pd.DataFrame({'Month': future_months, 'Forecasted Sales': forecast})
print('Forecasted Sales for the next 5 months:')
print(forecast_df)

设置要预测的未来步数为 5，使用拟合好的模型进行预测，得到未来 5 个月的销售额预测值。然后生成未来几个月的日期，创建一个包含日期和预测销售额的DataFrame，最后输出预测结果，为决策提供参考。

完整代码：

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
import io
# 读取数据并进行预处理
# 将字符串转换为DataFrame
data = pd.read_csv('shampoo.csv')

# 将'Month'列转换为日期类型
data['Month'] = pd.to_datetime(data['Month'], format='%m-%d')
# 将'Month'列转换为日期类型，并设置年份为2024年
data['Month'] = pd.to_datetime(data['Month'], format='%y-%m', yearfirst=True).dt.strftime('2024-%m')
print(data)
# 将日期列设置为索引
data.set_index('Month', inplace=True)

# 绘制时序图
data.plot(figsize=(10, 6))
plt.xlabel('Month')
plt.ylabel('Sales')
plt.title('Time Series of Sales')
plt.show()

# 检测序列的平稳性
# 自相关图
plot_acf(data, lags=9)
plt.title('Autocorrelation Plot')
plt.show()

# 偏相关图
plot_pacf(data, lags=9)
plt.title('Partial Autocorrelation Plot')
plt.show()

# ADF检验
adf_result = adfuller(data['Sales'])
print('ADF Statistic:', adf_result[0])
print('p-value:', adf_result[1])
print('Critical Values:', adf_result[4])

# 差分处理
diff_data = data.diff().dropna()

# 绘制差分后的时序图
diff_data.plot(figsize=(10, 6))
plt.xlabel('Month')
plt.ylabel('Sales (Differenced)')
plt.title('Differenced Time Series of Sales')
plt.show()

# 差分后的序列平稳性检测
# 自相关图
plot_acf(diff_data, lags=9)
plt.title('Autocorrelation Plot (Differenced)')
plt.show()

# 偏相关图
plot_pacf(diff_data, lags=9)
plt.title('Partial Autocorrelation Plot (Differenced)')
plt.show()

# ADF检验
adf_result_diff = adfuller(diff_data['Sales'])
print('ADF Statistic (Differenced):', adf_result_diff[0])
print('p-value (Differenced):', adf_result_diff[1])
print('Critical Values (Differenced):', adf_result_diff[4])

# 使用ARIMA模型建模
model = ARIMA(data, order=(1, 1, 1))
model_fit = model.fit()

# 打印模型的概要信息
print(model_fit.summary())

# 预测未来5个月的销售额
forecast_steps = 5
forecast = model_fit.forecast(steps=5)
# 生成未来几个月的日期
last_month = data.index[-1]
future_months = pd.date_range(start=last_month, periods=forecast_steps + 1, freq='M')[1:]

# 创建包含日期和预测销售额的DataFrame
forecast_df = pd.DataFrame({'Month': future_months, 'Forecasted Sales': forecast})

# 输出预测结果
print('Forecasted Sales for the next 5 months:')
print(forecast_df)