322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

dp[j]表示容量为j的背包装满所需的最少物品个数；
coins[i] 的范围是[1, 2^31 - 1], 凑够总金额所需的最多硬币个数就是 全部凑 1 时，最多 amount 个；
对于dp[j]，由于求的为最少物品个数，其初始值应该赋最大值，这里可以赋值amount + 1；
当容量为 0 时，不需要物品即可填满，所以dp[0] = 0；
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        // coins[i] 的范围是[1, 2^31 - 1], 凑够总金额所需的最多硬币个数就是 全部凑 1 时，最多 amount 个
        vector<int> dp(amount + 1, amount + 1); 
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
            for (int j = coins[i]; j < amount + 1; j++) {
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
            }
        }
        if (dp[amount] == (amount + 1)) {
            return -1;
        }
        return dp[amount];
    }
};

279.完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

dp[j]表示和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]；

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            for (int j = i * i; j < n + 1; j++) {
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

139.单词拆分

给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。如果可以利用字典中出现的一个或多个单词拼接出 s 则返回 true。
注意：不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。

class Solution {
public:
    bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
        unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
        vector<bool> dp(s.size() + 1, false);
        dp[0] = true;
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {   // 遍历背包
            for (int j = 0; j < i; j++) {       // 遍历物品
                string word = s.substr(j, i - j); //substr(起始位置，截取的个数)
                if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && dp[j]) {
                    dp[i] = true;
                }
            }
        }
        return dp[s.size()];
    }
};

关于多重背包，你该了解这些！

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。

	重量	价值	数量
物品1	1	15	2
物品2	3	20	3
物品3	4	15	2

问背包能背的物品最大价值是多少？
转换成如下情况：

	重量	价值	数量
物品1	1	15	1
物品1	1	15	1
物品2	3	20	1
物品2	3	20	1
物品2	3	20	1
物品3	4	15	1
物品3	4	15	1

即 0 - 1 背包问题

56. 携带矿石资源

卡码网：56. 携带矿石资源

题目描述 你是一名宇航员，即将前往一个遥远的行星。在这个行星上，有许多不同类型的矿石资源，每种矿石都有不同的重要性和价值。你需要选择哪些矿石带回地球，但你的宇航舱有一定的容量限制。
给定一个宇航舱，最大容量为 C。现在有 N 种不同类型的矿石，每种矿石有一个重量 w[i]，一个价值 v[i]，以及最多 k[i]个可用。不同类型的矿石在地球上的市场价值不同。你需要计算如何在不超过宇航舱容量的情况下，最大化你所能获取的总价值。

输入描述 输入共包括四行，第一行包含两个整数 C 和 N，分别表示宇航舱的容量和矿石的种类数量。
接下来的三行，每行包含 N 个正整数。具体如下：
第二行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的重量。
第三行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的价格。
第四行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的可用数量上限。
输出描述 输出一个整数，代表获取的最大价值。
输入示例
10 3
1 3 4
15 20 30
2 3 2
输出示例 90 **
提示信息**
数据范围：
1 <= C <= 10000;
1 <= N <= 10000;
1 <= w[i], v[i], k[i] <= 10000;

在0-1背包里面在加一个循环遍历一遍每种商品的数量；

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int package(int C, int N, vector<vector<int>>& stuff) {
    vector<int> dp(C + 1);
    for(int i = 0; i < N; i++) {
        while(stuff[i][2]) {
            for(int j = C; j >= stuff[i][0]; j--) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stuff[i][0]] + stuff[i][1]);
            
            }
            stuff[i][2]--;
        }
    }
    return dp[C];
}

int main() {
    int C, N;
    cin >> C >> N;
    vector<vector<int>> stuff(N, vector<int>(3));
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            cin >> stuff[j][i];
        }
    }
    cout << package(C, N, stuff) << endl;
    return 0;
}