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本篇博客我们继续来了解一些有关二分查找算法的进阶题目。
🏠 寻找峰值
📌 题目内容
162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode）
📌 题目解析
- 与山脉数组那道题不同的是，本题数组内存在多个峰值。
- 注意本题一个规定，即num[-1] = num[n] = 负无穷，数组边界都是最小负无穷。
📌算法原理
📒 思路一：暴力解法
有三种情况下，某个数是峰值，我们暴力解法只需要遍历一遍数组进行分类情况即可，但是时间复杂度是O(N)不符合题意。
📒 思路二：二分查找
我们发现：
1. 当arr[i] > arr[i+1]时，此时左边区域一定存在峰值，因此我们要向左缩小范围。
2.当arr[i] < arr[i+1]时，此时右边区域一定存在峰值，因此我们要向右缩小范围。
3.由于峰值位置的不确定我们需要寻找峰值，因此在寻找峰值的过程中，我们发现了二段性因此可以使用二分查找。
二分过程：
1. arr[i] > arr[i+1] ---> right = mid , 此时mid处可能就是峰值所以不能跳过mid。
2. arr[i] < arr[i+1] ---> left = mid +1 ,此时mid+1处才可能是峰值，因此可以跳过mid。
参考代码：
class Solution
{
public:
int findPeakElement(vector<int>& nums)
{
int left = 0;
int right = nums.size()-1;
while(left < right)
{
int mid = left + (right - left ) / 2;
if( nums[mid] < nums[mid+1])
{
left = mid + 1 ;
}
else
right = mid;
}
return left;
}
};🏠 寻找旋转排序数组中的最小值
📌 题目内容
153. 寻找旋转排序数组中的最小值 - 力扣（LeetCode）
📌 题目内容
- 注意题目数组中的数字各不相同。
📌算法原理
📒 思路一：暴力解法
暴力解法思路很简单，可以定义一个min变量，遍历一遍数组，遇到比他小的就更新min,时间复杂度是O(N),并不符合题目要求。
📒 思路二：二分查找
题目要我们找旋转排序数组中的最小值，这个位置是“确定”的，整个数组的大小变化趋势如上图。以D为参考点，我们发现：
1. 最小值所在位置的左边，都是严格大于等于数组最后一个数的。
2.最小值所在位置的右边，都是小于等于数组最后一个数的。
3.本题要我们求的很明显地划分了两段区间，体现了二段性，我们要做的是思考如果mid落在划分的两段区间内，我们如何靠近目标。
二分流程：
1. 当nums[mid] > nums[n-1]时，说明mid处于AB段，此时我们需要向右缩小范围，left = mid+1.
2.当nums[mid] <= nums[n-1]时，说明mid位于CD段，此时我们需要向左缩小范围，由于目标在CD段上，因此更新right时我们不能跳过mid因为mid可能就是最小值。
参考代码：
class Solution {
public:
int findMin(vector<int>& nums)
{
int left = 0;
int right = nums.size() - 1;
while(left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] < nums[right])right = mid;
else left = mid+1;
}
return nums[left];
}
};思考：我们划分两端区间是以D为参考点，那么我们是否能以A为参考点呢？
1. A~B段是大于等于nums[0](A点)的，而C~D段是严格小于nums[0]的。
2.此时二分流程：
A - B : nums[i]>=nums[0] --> left= mid +1;
C - D : nums[i] < nums[0] --> right = mid;
3.当旋转数组旋转到原来升序时：此时A点就是最小值，区间不断向右，此时就会丢掉最小值，因此对于这种边界情况我们需要特殊处理。
class Solution {
public:
int findMin(vector<int>& nums)
{
int left = 0;
int right = nums.size() - 1;
if(nums[0] < nums[right])
return nums[0];
int x = nums[0]; //以A为参照
while(left < right)
{
int mid = left + (right - left) / 2;
if(nums[mid] >= x )left = mid + 1;
else right = mid;
}
return nums[left];
}
};🏠 0~n-1中缺失的数字
📌 题目内容
LCR 173. 点名 - 力扣（LeetCode）
📌 题目内容
- 注意：对于[0,1,2,3,4]这样的数组，此时缺失的数字应该为5.
📌算法原理
📒 思路一：哈希表
由于缺了一个数字，因此总的人数为数组元素个数+1，此时我们先遍历一遍数组进行映射，再从0-N遍历，没有映射的就是缺失的数字。
class Solution {
public:
int takeAttendance(vector<int>& records)
{
unordered_map<int,int> mp;
for(const auto& e : records)
{
mp[e]++;
}
int reasult = 0;
int n = records.size() + 1;
for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
{
if(mp[i] == 0)
{
reasult = i;
break;
}
}
return reasult;
}
};📒 思路二：直接遍历找结果
由于学号从0开始，因此数组中每个数都应该与下标相同，由于缺失了一个数，可能导致它的下一个数占它的位置，也可能他就是最后一个数。
class Solution {
public:
int takeAttendance(vector<int>& records)
{
bool flag = false;
int i = 0;
for( i = 0 ; i < records.size();i++)
{
if(i != records[i])
{
flag = true;
break;
}
}
return i;
}
};📒 思路三：位运算
既然知道应到同学的人数n，又根据按位异或a^a = 0 的性质，我们可以用ret遍历一遍数组进行异或，再从0-N异或，最后ret就是缺失的数字。
class Solution {
public:
int takeAttendance(vector<int>& records)
{
int n = records.size();
int sum = 0;
for(int i = 0 ;i <= n ;i++)
{
sum ^= i;
}
for(int i = 0; i < records.size();i++)
{
sum ^= records[i];
}
return sum;
}
};📒 思路四：高斯求和公式
由于我们知道了应到学生人数，因此我们可以用等差数列求原本应该的学号之和，再遍历数组减去，最后得到的就是缺失的数字。
class Solution {
public:
int takeAttendance(vector<int>& records)
{
int n = records.size() + 1;
int sum = 0 + (n*(n-1)) / 2;
cout << sum <<endl;
for(int i = 0; i < records.size();i++)
{
sum -= records[i];
}
return sum;
}
}；📒 思路五：二分查找
前面的思路都很简单，但时间复杂度都是O(N)。仔细观察我们发现因为缺失了数字，会造成二段性。
我们发现，由于缺失了一个数字造成了二段性：
1. 左边一段区间的值都与下标相同，而右边一段区间的值与下标不匹配，因此我们需要去靠近第一个不与下标匹配的值。此时这个值的下标就是缺失的数字。
2.nums[mid] = mid时，说明mid在左边，此时需要向右缩小范围。
3.nums[mid] ≠ mid时，说明mid在右边，此时mid可能就是我们要找的，因此不能跳过mid.
4.需要注意的是对于类似[0,1,2,3,4]这样的情况，最后left==right时，我们需要返回left+1.
参考代码：
class Solution {
public:
int takeAttendance(vector<int>& records)
{
int left = 0;
int right = records.size() - 1;
while(left < right)
{
int mid = left + (right - left ) / 2;
if(records[mid] == mid)
left = mid + 1;
else
right = mid;
}
if(records[left] != left) return left;
return left + 1;
}
};总结：
1. 当题目很明确要求的目标能划分二段性时，我们需要考虑的是在划分区间内怎么接近目标。
2.当不是很明确二段性时，我们要考虑的是在找目标的过程中能否发现二段性。
