趣味算法------约瑟夫环

news2025/1/10 20:02:45

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问题概述：

问题解析：

图文示意：

处决开始：

第一轮结束：

第二轮结束：

最后一轮：

寻找规律：

最终思路：

具体代码：

总结：

问题概述：

在犹太战争期间，约瑟夫与多名犹太士兵被困在一个洞穴中，面临被罗马军队俘虏的危险。为了避免成为罗马人的奴隶，士兵们决定由顺时针从第一个人开始处决他旁边的人，下一个人再处决他旁边的人，直到剩最后一个人自尽。但是约瑟夫想向罗马人投降，但是他也不敢暴露自己的想法，最后约瑟夫通过数学计算，找到了一个可以让他成为最后幸存者的位置，从而避免了死亡的命运。那么假设一共有n个人，约瑟夫应该站在第几个人的位置才能活到最后。

问题解析：

假设现在有 8 个人，编号分别为1~8现在由第一个位置上人处决第二个位置上的人，再由第三个人处决第四个人，第一圈后还剩 1 3 5 7。然后继续 1 处决 3， 5 处决 7，还剩 1 ， 5，最后 1处决 5。1活到最后。

图文示意：

处决开始：

第一轮结束：

1 处决 2， 3处决4，5处决6，7处决8。

第二轮结束：

1处决3，5处决7。

最后一轮：

1处决5，仅剩1号位一个人。所以当人数为8人时，安全位为第一人的位置。

寻找规律：

通过上文中的打表方式我们找出当人数为1~10时，最后存活的位置。

这时候我们发现当士兵人数为2的幂次方时，第一个位置的人就能活到最后。实际上我们也能轻松的推导出来，假设士兵人数是2的幂次方时，每一轮都要处决一半的人，最后被处决的一定是环内最后一个人，这样下一轮第一个进行处决同伴的人一定还是第一号位置，到了最后活着的人一定还是一号位的人。

最终思路：

假设士兵人数不为2的幂次方呢？我们要知道，士兵在互相处决的过程中，人数是一个一个递减的，所以无论有多少人，在处决的过程中，人数一定会变成2的幂次方，然后由下一个操刀手成为一号位，他将活到最后。

假设一共有9个人，刚开始 1处决 2，还剩8个人，8个人为2的幂次方，下一个操刀手3号位相当于活到最后的“一号位”。

假设一共有10个人，刚开始 1处决 2，还剩9个人，然后 3 处决 4，还剩8个人，8个人为2的幂次方，下一个操刀手5号位相当于活到最后的“一号位”。

所以当人数为 n 时，我们要找到最大不超过 n 的 2 的幂次方，然后让 n 减去该2的幂次方，得到到这个安全位置一共处决了 X 人，因为每处决一个人证明在这之前一定还有一个操刀手，安全位之前一共有 2*X 个人，最后得到安全位的位置为 2*X+1。

具体代码：

#include <stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int num = 1;
    while (pow(2, num) <= n)//寻找刚好大于n的 2 的幂次方。
        num++;
    
    int X = n-pow(2, num - 1);//处决人数，这里num要减1。

    printf("%d", 2 * X + 1);//打印安全位置。
   
}