高精度算法
- 高精度的整体思路：
- 一、加法
- 1、思路：
- 2、模板：
- （1）C++版：
- （2）C语言版：
- 二、减法
- 1、思路：
- 2、模板：
- C++
- C
- 三、乘法
- 1、思路：
- 2、模板：
- C++
- 四、除法
- 1、思路：
- 2、模板：
- C++
- 五、总结：
高精度的整体思路：
为什么一个数据会存在最大数？我们知道，一个数字会转化成二进制存储在内存中。而每个二进制位都会消耗一个比特位。我们以int 为例，其大小是4个字节，32个比特位。因此，其所表示的最大数即32个比特位全是1的时候。
因此，我们只要打破内存的限制，就能实现超级大的数字之间的加减乘除运算。那么如何打破呢？此时我们就需要用到我们学过的数组，我们的数组可以在相应的内存区域限制内不断地开辟，从而满足我们的需要。
因此高精度的本质就是利用数组模拟各种运算法则，从而得到结果。
一、加法
1、思路：
我们以上述图示为例子，我们创建两个数组，模拟两个数字的位数，从个位开始运算。
我们创建一个中间变量t来存储每一位两个数字加起来的结果。但是我们需要注意的是，结果中的每一位不仅来自A,B两个数字中对应位数的相加，还包括前一位的进位。
个位的加减是没有前一位的进位的，因此我们初始化 t 为0。然后运算结果如上图所示。我们将t%10后，就是该位所应保留的数字，然后将t在/=10，此时t就保留了进到下一位中的进位。
因此，我们这里要写成：t += A[i] + B[i]。一定是+=!!。否则就会丢掉进位。不懂得话，可以详细看上面图片中的手写例子。
但是我们还需要注意的一点就是，当我们算到最后一位的时候，最后一位计算结束的时候，我们的t有可能依然有进位。由于A，B已经没有下一位了。所以如果不特殊处理以下的话，这一位就丢掉了。因此我们用if语句判断一下，如果存有进位，则再开一位存储1。
另外的一些细节，我们看完模板再解释。
2、模板：
（1）C++版：
#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
using namespace std;
vector<int>add(vector<int>&A,vector<int>&B)
{
int t=0;
vector<int>C;
for(int i=0;i<A.size()||i<B.size();i++)
{
if(i<A.size())t+=A[i];
if(i<B.size())t+=B[i];
C.push_back(t%10);
t/=10;
}
if(t!=0)C.push_back(1);
return C;
}
int main()
{
string a,b;
vector<int>A,B;
cin>>a>>b;
//倒序存储数组
for(int i=a.size()-1;i>=0;i--)A.push_back(a[i]-'0');
for(int i=b.size()-1;i>=0;i--)B.push_back(b[i]-'0');
//调用加法函数
vector<int>C=add(A,B);
//倒序输出结果
for(int i=C.size()-1;i>=0;i--)printf("%d",C[i]);
return 0;
}
（2）C语言版：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
char a[100005];
char b[100005];
int A[100005];
int B[100005];
int C[100005];
int main()
{
scanf("%s",a);
scanf("%s",b);
int lena = strlen(a);
int lenb = strlen(b);
//逆序数组
for (int i = 0; i < lena;i++)
{
A[lena - i - 1] = a[i] - '0';
}
for (int i = 0; i < lenb;i++)
{
B[lenb - i - 1] = b[i] - '0';
}
//判断结果的最大位数
int lenc = (lena > lenb ? lena : lenb)+1;
//开始加法
int t=0;
int i;
for (i = 0; i < lenc;i++)
{
t+=A[i]+B[i];
C[i]=t%10;
t/=10;
}
if(t!=0)C[i]=1;
//删除前导零，避免出现：000012的情况。但是要注意0这种特殊情况
while(C[lenc]==0&&lenc>0)
{
lenc--;
}
for (int i = lenc; i >= 0;i--)
{
printf("%d",C[i]);
}
return 0;
}
我们这里解释一下为什么要倒置数组，因为我们输入一个字符串后，第一个元素是最高位。但是我们上述图片举得例子中，第一个元素是个位，所以我们需要倒置数组，不要忘记剪掉：'0'
二、减法
1、思路：
减法依旧是去模拟一个竖式的计算，上面的图片中就是我们小学数学中所熟悉的式子。那么我们从编程的角度去审视一下上面的代码：
通过上面的代码，我们可以总结出减法中的关键思路：
创建一个临时变量t,这个t就是辅助我们去计算每一位的。那么这个t代表的是进位。同时我们也利用t来存储每一位运算的结果，然后再通过对t的取模运算得到每一位的结果，然后再通过A[i]-B[i]-t的正负去判断进位。
这里我们解释一下，当A[i]-B[i]小于0的时候，说明我们是需要借位的，借位其实就是给这个负数的结果加上一个10，因为我们借位了，所以t要等于1。所以在下一位的计算过程中，我们就要多减去一个1,那么多减去的这个1就体现在 - t 中。
当我们的结果是负数的时候，我们还需要去模拟那个负数，因此我们需要先判断一下正负，然后预先得知是否打印负号，然后我们再去求二者相减的绝对值即可。
接着下来的话，我们需要还需要解决一下前导零的问题：比如777-772=005。5之前的00是没必要打印的，我们直接删除即可。
2、模板：
C++
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
bool cmp(vector<int>&A,vector<int>&B)
{
if(A.size()!=B.size())return A.size()>B.size();
else
{
for(int i=A.size()-1;i>=0;i--)
{
if(A[i]!=B[i])return A[i]>B[i];
}
}
return true;
}
vector<int>sub(vector<int>&A,vector<int>&B)
{
vector<int>C;
int t=0;
for(int i=0;i<A.size();i++)
{
t=A[i]-t;
if(i<B.size())t-=B[i];
if(t>=0)
{
C.push_back(t);
t=0;
}
else
{
C.push_back(t+10);
t=1;
}
}
while(C.size()>1&&C.back()==0)C.pop_back();
return C;
}
int main()
{
vector<int>A,B,C;
string a,b;
cin>>a>>b;
for(int i=a.size()-1;i>=0;i--)A.push_back(a[i]-'0');
for(int i=b.size()-1;i>=0;i--)B.push_back(b[i]-'0');
if(cmp(A,B))
{
C=sub(A,B);
}
else
{
C=sub(B,A);
cout<<"-";
}
for(int i=C.size()-1;i>=0;i--)printf("%d",C[i]);
return 0;
}
C
#include<stdio.h>
#include<string.h>
char a[100010],b[100010];
int A[100010],B[100010],C[100010];
int cmp(int*A,int*B,int lena,int lenb)
{
int len=lena-lenb;
if(len!=0)
{
return len;
}
else
{
for(int i=lena-1;i>=0;i--)
{
if(A[i]!=B[i])
{
return A[i]-B[i];
}
}
}
return 0;
}
int sub(int*A,int*B,int*C,int lena,int lenb)
{
int t=0,lenc=0;
for(int i=0;i<lena;i++)
{
t=A[i]-t;
if(i<lenb)t-=B[i];
if(t>=0)
{
C[i]=t;
t=0;
}
else
{
C[i]=t+10;
t=1;
}
lenc++;
}
while(lenc>1&&C[lenc-1]==0)lenc--;
return lenc;
}
int main()
{
scanf("%s %s",a,b);
int lena=strlen(a);
int lenb=strlen(b);
int lenC=0;
for(int i=0;i<lena;i++)A[i] = a[lena - i - 1] - '0';
for(int i=0;i<lenb;i++)B[i]=b[lenb-i-1]-'0';
if(cmp(A,B,lena,lenb)>=0)
{
lenC=sub(A,B,C,lena,lenb);
}
else
{
lenC=sub(B,A,C,lenb,lena);
printf("-");
}
for(int i=lenC-1;i>=0;i--)printf("%d",C[i]);
return 0;
}
三、乘法
1、思路：
我们这里的乘法介绍的是一个较小的数乘以一个大整数，即只把大整数存储到数组中，而这个较小的数字依旧存储在一个整型当中。思路如下所示：
2、模板：
C++
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
vector<int> mul(vector<int>&A,int&b)
{
vector<int>C;
int t=0;
for(int i=0;i<A.size()||t>0;i++)
{
if(i<A.size())t+=A[i]*b;
C.push_back(t%10);
t=t/10;
}
while(C.size()>1&&C.back()==0)C.pop_back();
return C;
}
int main()
{
string a;
int b;
cin>>a>>b;
vector<int>A;
for(int i=a.size()-1;i>=0;i--)A.push_back(a[i]-'0');
vector<int>B=mul(A,b);
for(int i=B.size()-1;i>=0;i--)printf("%d",B[i]);
return 0;
}
四、除法
我们这里说的除法是一个大整数除以一个存储在int类型中的数字。
1、思路：
如上图所示，我们创建一个临时的变量t。这个t有两个作用：第一个作用是计算结果的每一位，第二个作用是记录最终的余数。
2、模板：
C++
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
vector<int>div(vector<int>&A,int&B,int&t)
{
t=0;
vector<int>C;
for(int i=A.size()-1;i>=0;i--)
{
t=t*10+A[i];
C.push_back(t/B);
t=t%B;
}
reverse(C.begin(),C.end());
while(C.size()>1&&C.back()==0)C.pop_back();
return C;
}
int main()
{
string a;
vector<int> A;
int B;
cin>>a>>B;
for(int i=a.size()-1;i>=0;i--)A.push_back(a[i]-'0');
vector<int> C;
int c;
C=div(A,B,c);
for(int i=C.size()-1;i>=0;i--)printf("%d",C[i]);
puts("");
cout<<c;
return 0;
}
五、总结：
我们发现上述的模板中都有一个相似的思路：我们都创建了一个临时变量t,这个变量的作用就是来计算每一位，同时去存储进位或者余数。当大家忘记时，自己模拟一下，即可写出上述的模板。希望大家多多研究图片中的例子。
