自动控制——状态观测器

news2024/12/25 13:11:01

自动控制——状态观测器

引言

在自动控制系统中，准确地了解系统的状态对实现高性能控制至关重要。然而，在许多实际应用中，我们无法直接测量系统的所有状态变量。这时，状态观测器（State Observer）就发挥了重要作用。状态观测器能够利用系统的输入输出数据估计未测量的状态变量，从而使得控制器能够基于这些估计的状态实现有效的控制。

状态观测器的本质

状态观测器本质上是一种替代控制系统中传感器的工具。观测器通过结合感知信号和控制系统的其他信息（如系统模型或已知参数），产生观测信号。与直接使用传感器测得的信号相比，这些观测到的信号通常更为精确、更为廉价，且更为可靠。

观测器通过综合测得的反馈信号与控制系统元部件（特别是被控对象）的信息，使得对被控对象的特性能够有更精确的认知。观测器不仅增强了传感器的输出，还为控制律提供了更为精确的反馈信号，这在控制系统的设计与应用中至关重要。

状态观测器的定义

状态观测器是一种动态系统，它通过系统的输入输出数据来估计系统的状态向量。假设我们有一个线性时不变系统，描述如下：

$\begin{aligned} \dot{x}(t) &= A x(t) + B u(t), \\ y(t) &= C x(t), \end{aligned}$

其中， $x (t)$ 是系统状态向量， $u (t)$ 是输入向量， $y (t)$ 是输出向量， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别是系统的状态矩阵、输入矩阵和输出矩阵。

状态观测器的目标是利用已知的 $u (t)$ 和 $y (t)$ 来估计 $x (t)$ 。通常构造如下形式的观测器：

$\begin{aligned} \dot{\hat{x}}(t) &= A \hat{x}(t) + B u(t) + L (y(t) - \hat{y}(t)), \\ \hat{y}(t) &= C \hat{x}(t), \end{aligned}$

其中， $\hat{x}(t)$ 是估计的状态向量， $L$ 是观测器增益矩阵， $\hat{y}(t)$ 是估计的输出。

状态观测器的设计

为了确保状态观测器能够正确估计系统的状态，观测器的设计至关重要。观测器增益矩阵 $L$ 的选择直接影响估计误差 $\hat{x}(t)$ 的收敛性。

假设系统是可观测的，状态估计误差的动态方程为：

$\dot{e}(t) = (A - LC)e(t)$

为了使误差 $e (t)$ 收敛至零，我们希望矩阵 $A - L C$ 是一个稳定矩阵。这意味着我们需要选择合适的 $L$ 使得矩阵 $A - L C$ 的特征值具有负实部。

Python代码实现

下面是使用Python实现状态观测器的一个简单例子。我们将利用Python中的控制系统库（control）来进行仿真。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import control as ctrl
from matplotlib.font_manager import FontProperties  
# 设置中文显示
font = FontProperties(fname=r"./CN/simsun.ttc", size=12)  # 替换为你系统中的中文字体路径
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimSun']  # 使用指定的中文字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决负号显示问题


# 定义系统矩阵
A = np.array([[1, 2], 
              [0, -1]])
B = np.array([[0], 
              [1]])
C = np.array([[1, 0]])

# 设计观测器增益矩阵L
L = np.array([[2], 
              [3]])

# 构建系统
sys = ctrl.ss(A, B, C, 0)

# 初始条件
x0 = np.array([[1], [1]])  # 将初始条件定义为列向量
x0_hat = np.array([[0], [0]])  # 初始状态估计

# 定义时间
T = np.linspace(0, 10, 100)

# 定义输入信号
U = np.zeros_like(T)  # 输入为零

# 仿真真实系统的响应
T, y = ctrl.forced_response(sys, T, U, X0=x0)

# 仿真观测器
A_hat = A - L @ C
sys_hat = ctrl.ss(A_hat, np.hstack([B, L]), np.eye(2), 0)

# 构造输入信号（真实输出加上输入信号）
U_hat = np.vstack([U, y])
T, x_hat = ctrl.forced_response(sys_hat, T, U_hat, X0=x0_hat)

# 绘图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(T, y, 'b', label="真实输出 $y$")
plt.plot(T, x_hat[0, :], 'r--', label="估计状态 $\hat{x}_1$")
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('状态/输出')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.title('状态观测器仿真')
plt.show()