打卡第四十五天:不同的子序列、两个字符串的删除操作、编辑距离

news2024/11/13 7:58:11

一、不同的子序列(困难)

题目

文章

视频

这道题目如果不是子序列,而是要求连续序列的,那就可以考虑用KMP。相对于72. 编辑距离简单了不少,因为本题相当于只有删除操作,不用考虑替换增加之类的。但相对于判断子序列就有难度了,双指针法做不了。

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j]:以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。

  1. 确定递推公式

这一类问题,基本是要分析两种情况

  • s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
  • s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等

当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时,dp[i][j]可以有两部分组成。

一部分是用s[i - 1]来匹配,那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母,所以只需要 dp[i-1][j-1]。一部分是不用s[i - 1]来匹配,个数为dp[i - 1][j]。

例如: s:bagg 和 t:bag ,s[3] 和 t[2]是相同的,但是字符串s也可以不用s[3]来匹配,即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。

当然也可以用s[3]来匹配,即:s[0]s[1]s[3]组成的bag。所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时,dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];

当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时,dp[i][j]只有一部分组成,不用s[i - 1]来匹配(就是模拟在s中删除这个元素),即:dp[i - 1][j]

所以递推公式为:dp[i][j] = dp[i - 1][j];

求的是 s 中有多少个 t,而不是 求t中有多少个s,所以只考虑 s中删除元素的情况,即 不用s[i - 1]来匹配 的情况。

  1. dp数组如何初始化

从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来,如图:,那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。

每次当初始化的时候,都要回顾一下dp[i][j]的定义,不要凭感觉初始化。dp[i][0] 表示:以i-1为结尾的s可以随便删除元素,出现空字符串的个数。那么dp[i][0]一定都是1,因为也就是把以i-1为结尾的s,删除所有元素,出现空字符串的个数就是1。

dp[0][j],dp[0][j]:空字符串s可以随便删除元素,出现以j-1为结尾的字符串t的个数。那么dp[0][j]一定都是0,s如论如何也变成不了t。最后就要看一个特殊位置了,即:dp[0][0] 应该是多少。dp[0][0]应该是1,空字符串s,可以删除0个元素,变成空字符串t。

vector<vector<long long>> dp(s.size() + 1, vector<long long>(t.size() + 1));
for (int i = 0; i <= s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) dp[0][j] = 0; // 其实这行代码可以和dp数组初始化的时候放在一起,但我为了凸显初始化的逻辑,所以还是加上了。

  1. 确定遍历顺序

从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下,从左到右,这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

代码如下:

for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
        if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
        } else {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}

  1. 举例推导dp数组

以s:"baegg",t:"bag"为例,推导dp数组状态如下:

115.不同的子序列

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        vector<vector<uint64_t>> dp(s.size() + 1, vector<uint64_t>(t.size() + 1));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j < t.size(); j++) dp[0][j] = 0;
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[s.size()][t.size()];
    }
};

  • 时间复杂度: O(n * m)
  • 空间复杂度: O(n * m)

二、两个字符串的删除操作

题目

文章

视频

动态规划一

本题和上一题相比,其实就是两个字符串都可以删除了,情况虽说复杂一些,但整体思路是不变的。两个字符串可以相互删了

  1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j]:以i-1为结尾的字符串word1,和以j-1位结尾的字符串word2,想要达到相等,所需要删除元素的最少次数。

  1. 确定递推公式
  • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
  • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候,dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候,有三种情况:

情况一:删word1[i - 1],最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1

情况二:删word2[j - 1],最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1

情况三:同时删word1[i - 1]和word2[j - 1],操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2

那最后当然是取最小值,所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候,递推公式:dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});

因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2,所以递推公式可简化为:dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);

从字面上理解 就是 当 同时删word1[i - 1]和word2[j - 1],dp[i][j-1] 本来就不考虑 word2[j - 1]了,那么我在删 word1[i - 1],是不是就达到两个元素都删除的效果,即 dp[i][j-1] + 1。

  1. dp数组如何初始化

从递推公式中,可以看出来,dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。

dp[i][0]:word2为空字符串,以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素,才能和word2相同呢,很明显dp[i][0] = i。

dp[0][j]的话同理,所以代码如下:

vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

  1. 确定遍历顺序

从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。

所以遍历的时候一定是从上到下,从左到右,这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

  1. 举例推导dp数组

以word1:"sea",word2:"eat"为例,推导dp数组状态图如下:

583.两个字符串的删除操作1

以上分析完毕,代码如下:

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

  • 时间复杂度: O(n * m)
  • 空间复杂度: O(n * m)

动态规划二

本题和最长公共子序列基本相同,只要求出两个字符串的最长公共子序列长度即可,那么除了最长公共子序列之外的字符都是必须删除的,最后用两个字符串的总长度减去两个最长公共子序列的长度就是删除的最少步数。

代码如下:

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size()+1, vector<int>(word2.size()+1, 0));
        for (int i=1; i<=word1.size(); i++){
            for (int j=1; j<=word2.size(); j++){
                if (word1[i-1] == word2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
        return word1.size()+word2.size()-dp[word1.size()][word2.size()]*2;
    }
};

  • 时间复杂度: O(n * m)
  • 空间复杂度: O(n * m)

三、编辑距离

题目

文章

视频

编辑距离是用动规来解决的经典题目,这道题目看上去好像很复杂,但用动规可以很巧妙的算出最少编辑距离。

1. 确定dp数组(dp table)以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1,和以下标j-1为结尾的字符串word2,最近编辑距离为dp[i][j]。用i-1是为了方便后面dp数组初始化的。

2. 确定递推公式

在确定递推公式的时候,首先要考虑清楚编辑的几种操作,整理如下:

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])
    不操作
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])
    增
    删
    换

也就是如上4种情况。

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑,dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1],即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

在整个动规的过程中,最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义

  • 操作一:word1删除一个元素,那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

  • 操作二:word2删除一个元素,那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

word2添加一个元素,相当于word1删除一个元素,例如 word1 = "ad" ,word2 = "a"word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd',变成word1="a", word2="ad", 最终的操作数是一样! dp数组如下图所示意的:

            a                         a     d
   +-----+-----+             +-----+-----+-----+
   |  0  |  1  |             |  0  |  1  |  2  |
   +-----+-----+   ===>      +-----+-----+-----+
 a |  1  |  0  |           a |  1  |  0  |  1  |
   +-----+-----+             +-----+-----+-----+
 d |  2  |  1  |
   +-----+-----+

操作三:替换元素,word1替换word1[i - 1],使其与word2[j - 1]相同,此时不用增删加元素。

可以回顾一下,if (word1[i - 1] == word2[j - 1])的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。

那么只需要一次替换的操作,就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。

所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

综上,当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的,即:dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

递归公式代码如下:

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
}

3. dp数组如何初始化

再回顾一下dp[i][j]的定义:

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1,和以下标j-1为结尾的字符串word2,最近编辑距离为dp[i][j]

dp[i][0] :以下标i-1为结尾的字符串word1,和空字符串word2,最近编辑距离为dp[i][0]。那么dp[i][0]就应该是i,对word1里的元素全部做删除操作,即:dp[i][0] = i;同理dp[0][j] = j;

for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

4. 确定遍历顺序

从如下四个递推公式:

  • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
  • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
  • dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
  • dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

可以看出dp[i][j]是依赖左方,上方和左上方元素的,如图:

72.编辑距离

所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。

代码如下:

for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
        if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
        }
        else {
            dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
        }
    }
}


 

5. 举例推导dp数组

以示例1为例,输入:word1 = "horse", word2 = "ros"为例,dp矩阵状态图如下:

72.编辑距离1

以上动规五部分析完毕,C++代码如下:
 

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }
                else {
                    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};
  • 时间复杂度: O(n * m)
  • 空间复杂度: O(n * m)

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.coloradmin.cn/o/2046255.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

Mapreduce_Distinct数据去重

MapReduce中数据去重 输入如下的数据&#xff0c;统计其中的地址信息&#xff0c;并对输出的地址信息进行去重 实现方法&#xff1a;Map阶段输出的信息K2为想要去重的内容&#xff0c;利用Reduce阶段的聚合特点&#xff0c;对K2进行聚合&#xff0c;去重。在两阶段中&#xff…

【数据结构篇】~顺序表

顺序表前言 想要学好数据结构的三大基本功&#xff1a;1.结构体2.指针3.动态内存开辟,这三样将是贯彻整个数据结构的工具。&#xff08;可以去这里了解这三大基本功&#xff09; 顺序表也是线性表的一种&#xff0c;那线性表又是什么呢&#xff1f; 线性表&#xff08;linear …

系列:水果甜度个人手持设备检测-无损检测常用技术和方式汇总

系列:水果甜度个人手持设备检测 -- 无损检测常用技术和方式汇总 概述 无损检测以不损坏被检测对象的使用性能为前提&#xff0c;以物理或化学方法为手段&#xff0c;借助相应的设备器材&#xff0c;按照规定的技术要求&#xff0c;对材料、零部件、结构件进行有效的检验和测…

软件测试第1章 软件测试是什么

目录​​​​​​​ 内容说明 一、软件测试与质量概览需要熟悉什么 二、如何理解质量保证 三、软件测试的误区-程序员和测试的关系 四、软件测试是什么&#xff1f; 五、软件测试的目的 六、软件测试与软件质量保证 七、软件测试的必要性 八、软件测试的基本概念分析 …

HarmonyOS Next 系列之列表下拉刷新和触底加载更多数据实现(十一)

系列文章目录 HarmonyOS Next 系列之省市区弹窗选择器实现&#xff08;一&#xff09; HarmonyOS Next 系列之验证码输入组件实现&#xff08;二&#xff09; HarmonyOS Next 系列之底部标签栏TabBar实现&#xff08;三&#xff09; HarmonyOS Next 系列之HTTP请求封装和Token…

智碳云/高能耗企业 水-电-气-热-油-空压机等能源数据采集系统【源码】

智碳云/高能耗企业 水-电-气-热-油-空压机等能源数据采集系统【源码】 介绍基于SpringCloud的能源管理系统-能源管理平台源码-能源在线监测平台-双碳平台源码-SpringCloud全家桶-能管管理系统源码-能管系统软件架构

js 深入学习各种继承方法使用场景

前言 问题&#xff1a; JS 如何实现继承呢&#xff1f;主要有几种继承方式及分别适用于哪些场景呢&#xff1f; 我们学习高级语言&#xff0c;就必须学习面向对象&#xff0c;想要成为高手&#xff0c;就必须学习别人不会的&#xff0c;就比如JS中的继承&#xff0c;好多前端人…

ASP.NET在线交流论坛管理系统

ASP.NET在线交流论坛管理系统 说明文档 运行前附加数据库.mdf&#xff08;或sql生成数据库&#xff09; 主要技术&#xff1a; 基于asp.net架构和sql server数据库 用户功能有个人信息管理 帖了信息管理 意见反馈信息管理 点赞管理 收藏管理 后台管理员可以进行用户管理 …

部署及使用seata

目录 1.下载seata1.7.0.zip 2.上传至云服务器&#xff0c;使用unar工具解压 3.配置application.yml&#xff0c;主要配置如下参数 4.为seata执行mysql脚本 5.配置nacos配置中心 *6.启动seata服务器 问题&#xff1a;“cause:can not register RM,err:can not connect to…

国外项目管理软件最佳实践:选型与应用

国内外主流的10款国外项目管理软件对比&#xff1a;PingCode、Worktile、Asana、Trello、Monday.com、ClickUp、Wrike、ProofHub、Zoho Projects、Hive。 在寻找适合的国外项目管理软件时&#xff0c;你是否感到不知从何选择&#xff1f;市场上琳琅满目的选项往往令人眼花缭乱&…

微软披露Office最新零日漏洞,可能导致数据泄露

近日&#xff0c;微软披露了 Office 中一个未修补的零日漏洞&#xff0c;如果被成功利用&#xff0c;可能导致敏感信息在未经授权的情况下泄露给恶意行为者。 该漏洞被追踪为 CVE-2024-38200&#xff08;CVSS 得分&#xff1a;7.5&#xff09;&#xff0c;被描述为一个欺骗漏洞…

关于xilinx的FFTIP的使用和仿真

工具&#xff1a;vivado2018.3&#xff0c;modelsim10.6d 场景&#xff1a;在进行数据进行频谱分析的时候&#xff0c;使用FPGA来完成FFT的计算可以加快数据的计算速度。 下面使用仿真完成DDS产生的数据的FFT以及IFFT。原始数据使用DDSIP产生&#xff0c;通过IP产生的波形数据…

旧手机NAS方案

这里写目录标题 1、参考2、alpine-term-v16.0-release.apk下载安装3、电脑端ssh连接3、安装docker3.1 网络配置3.2 配置APK源 1、参考 【Docker与Termux】闲置旧安卓手机上的NAS无缝部署方案 https://blog.csdn.net/AnRanGeSi/article/details/138717589 【Alpine Term】Andr…

线程与进程(5)

目录 信号量&#xff08;线程的同步 &#xff09; 信号量的分类&#xff1a; 框架&#xff1a; &#xff08;1&#xff09;信号量的定义(semaphore): &#xff08;2&#xff09;信号量的初始化&#xff1a; &#xff08;3&#xff09;信号量的PV 操作 &#xff08;4&#…

Ubuntu Linux安装Go语言

Golang是Google公司在2007年开始开发的一种静态强类型、编译型语言。Go语言被设计成一门简单、高效且可靠的编程语言&#xff0c;旨在解决大规模网络服务和分布式系统开发中的复杂性问题。Go语言结合了动态语言的开发速度和C/C等编译型语言的性能与安全性&#xff0c;提供了强大…

[DL]深度学习_针对图像恢复的高效扩散模型DiffIR

DiffIR: Efficient Diffusion Model for Image Restoration Abstract 扩散模型(DM)通过将图像合成过程建模为去噪网络的顺序应用&#xff0c;实现了SOTA的性能。然而&#xff0c;与图像合成不同的是&#xff0c;图像恢复(IR)对生成符合ground-truth的结果有很强的约束。因此&am…

家穷就去互联网

吉祥知识星球http://mp.weixin.qq.com/s?__bizMzkwNjY1Mzc0Nw&mid2247485367&idx1&sn837891059c360ad60db7e9ac980a3321&chksmc0e47eebf793f7fdb8fcd7eed8ce29160cf79ba303b59858ba3a6660c6dac536774afb2a6330#rd 《网安面试指南》http://mp.weixin.qq.com/s?…

AI编程工具合集(附使用地址)

在AI编程工具领域&#xff0c;随着技术的飞速发展&#xff0c;越来越多的工具正在改变编程的方式。以下是目前排名前十的AI编程工具合集&#xff0c;提供了丰富的功能来提升开发效率&#xff0c;并在多个编程场景中帮助开发者解决问题。 1. GitHub Copilot • 是什么: GitHub C…

打靶笔记--medium_socnet

medium_socnet 靶机地址:https://www.vulnhub.com/entry/boredhackerblog-social-network,454/ 内容简介&#xff1a; 这是本系列的第04次打靶&#xff0c;我选择了一个中等难度的靶机。在这次打靶过程中&#xff0c;我们将使用到以下攻击手段&#xff1a; 主机发现 端口扫…

javaEE WebServlet、SpringWebMVC、SpringBoot实现跨域访问的4种方式及优先级,nginx配置跨域

文章目录 1. 前置知识2. 原理和解决方案总结2.1. 跨域不通过原理流程图2.2. 实现原理&#xff1a;添加以下http响应头2.3. 四种跨域实现方式及优先级&#xff08;从高到低&#xff09; 3. 具体实现代码3.1. 跨域全局配置方式-Filter(全适用)3.2. 跨域全局配置方式-SpringMvc3.3…