如果轨迹要满足某个特点，如：最短时间、最短路径，此时最优控制思路会被引入，变分法等算法可用以求解,选择
x
∗
x*
x∗使得泛函（functional）
L
\mathcal{L}
L取得最优。
欧拉-拉格朗日方程：最优值的必要条件
d
d
t
(
∂
L
∂
x
˙
)
−
∂
L
∂
x
=
0
∂
L
∂
x
−
d
d
t
(
∂
L
∂
x
˙
)
+
d
2
d
t
2
(
∂
L
∂
x
¨
)
+
…
+
(
−
1
)
n
d
n
d
t
n
(
∂
L
∂
x
(
n
)
)
=
0
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}-\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right)+\frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \ddot{x}}\right)+\ldots+(-1)^{n} \frac{d^{n}}{d t^{n}}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^{(n)}}\right)=0
dtd(∂x˙∂L)−∂x∂L=0∂x∂L−dtd(∂x˙∂L)+dt2d2(∂x¨∂L)+…+(−1)ndtndn(∂x(n)∂L)=0
最短距离轨迹也是最小速度轨迹 证明：最小速度轨迹满足
x
⋆
(
t
)
=
argmin
x
(
t
)
∫
0
T
x
˙
2
d
t
x^{\star}(t)=\underset{x(t)}{\operatorname{argmin}} \int_{0}^{T} \dot{x}^{2} d t
x⋆(t)=x(t)argmin∫0Tx˙2dt 通过欧拉-拉格朗日方程，解得该
x
⋆
(
t
)
x^{\star}(t)
x⋆(t)为一条直线。 而采用分段微分再积分的方法，最短距离轨迹满足
x
⋆
(
t
)
=
argmin
x
(
t
)
∫
0
T
1
+
x
˙
2
d
t
x^{\star}(t)=\underset{x(t)}{\operatorname{argmin}} \int_{0}^{T} \sqrt{1+\dot{x}^{2}} d t
x⋆(t)=x(t)argmin∫0T1+x˙2dt 解出来仍是一条直线，起点终点相同，只有一条直线。、
