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行列式

最早行列式，是莱布尼茨用于判断，一个方程有没有解。例如，三元一次方程，如果有解，对应行列式就有值，但是如果无解，那么对应的行列式则为零。

线性映射

一个方程组可以写成上述的形式，而A就是线性映射。这里可以把向量x，理解为输入。结果为输出。本质是一个知道输出，求解输入的过程。

所以如果有输出能找到输入那就有解，但是输出找不到输入，那就无解。

从几何直观意义理解输入与输出

线性映射就是把平面上一个点映射到另外一个点。如果直接的以网格角度看变化，那就要可以更直观看到对应的平面变化。

逆映射

其实就是输入找回输出的映射，如果一一对应的映射存在，那一定也是一个线性映射。记作A的逆。

列空间

线性代数的值域，代表线性映射把整个输入空间所可能送出的所有输出集合，就是列空间。

任意组合这个矩阵所有的列向量，所可能得到的所有输出。

秩

把一个矩阵所有列向量所组成的列空间的维度，称为矩阵的秩

零空间

在线性映射下，输出变成0的所有输入，被称作零空间。

所有一个平行于零空间的直线，在经过线性映射的作用以后，都会集中于同一个输出点。

零空间又被称为核。

零空间也必然是一个线性空间

因为一个零向量不管如何运算，都会转变成一个零向量。

基础解系，通解

在被压缩一定维度的情况下，从输出的列向量，任何一个点反过来出发寻找输入得到的一定都是一个被平移过的零空间。

所以我们想写出方程的解，总是可以先选择一个特别的解，特解，满足映射变换，加上一个平行于零空间的可以任意移动的分量。

所以，所有的AX= b都可以写成一个特解+平行于零空间的任意的Xn。

主要参考：线性代数很难学？因为没有深刻理解这个概念【无痛线代】 up主：漫士沉思录

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