[NOIP1997 普及组] 棋盘问题

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题目背景

NOIP1997 普及组第一题

题目描述

设有一个 $N\times M$ 方格的棋盘 $(1\le N\le 100,1\le M\le 100)$

求出该棋盘中包含有多少个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。

例如：当 $N=2,M=3$ 时：

正方形的个数有 $8$ 个：即边长为 $1$ 的正方形有 $6$ 个；边长为 $2$ 的正方形有 $2$ 个。

长方形的个数有 $10$ 个：

即

• $2\times 1$ 的长方形有 $4$ 个：

• $1\times 2$ 的长方形有 $3$ 个：

• $3\times 1$ 的长方形有 $2$ 个：

• $3\times 2$ 的长方形有 $1$ 个：

输入格式

一行两个整数 $N,M$。

输出格式

一行两个整数，表示正方形的个数与长方形的个数。

输入输出样例

输入 #1

2 3

输出 #1

8 10

解法1

    直接枚举左上角和右下角两个点的坐标，统计就行。时间复杂度为$O(n^2{m}^2)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int rec=0,squ=0,n,m;//用squ记录正方形的数量,rec记录长方形的数量
    cin>>n>>m;
    for(int x1=0;x1<=n;x1++)//枚举左上角的x坐标
        for(int y1=0;y1<=m;y1++)//枚举左上角的y坐标
            for(int x2=x1+1;x2<=n;x2++)
            //x2从x1+1起，不重复不遗漏，保证长度至少为1
                for(int y2=y1+1;y2<=m;y2++)//同上
                    if(x2-x1==y2-y1)//正方形，两边长相等
                        squ++;
                    else//长方形
            			rec++;
    cout<<squ<<" "<<rec;
    return 0;
}

解法2

    也可以枚举每个方形的长和宽。长和宽相等的就是正方形。直接将复杂度降到$O(nm)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m,squ=0,rec=0;//用squ记录正方形的数量,rec记录长方形的数量
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)//枚举长 
        for(int j=1;j<=m;j++)//枚举宽 
            if(i==j)//如果长等于宽就是正方形 
                squ+=(n-i+1)*(m-j+1);
            else//否则就是长方形 
                rec+=(n-i+1)*(m-j+1);
    cout<<squ<<" "<<rec;
	return 0;
}

    很好，接下来你可以去挑战洛谷P2241 统计方形（数据加强版）了。加油，我相信你！

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