算法力扣刷题记录八十一【343. 整数拆分】

news2024/9/22 1:13:30

前言

动态规划第8篇。记录八十一【343. 整数拆分】

一、题目阅读

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个正整数的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。返回 最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

2 <= n <= 58

二、尝试实现

分析题目，确定方法

题目给了一个正整数n，拆分成k个正整数，使得k个正整数乘积最大。但是没有说k能是几。感觉是一种尝试的过程，好像没有方法。
思考：a + b = 常数；当a=b时，a * b 最大。这个结论在初高中都学过：当几个数的和固定，那么这几个数相等时乘积最大。所以：当n拆分成近似相等的k个数，乘积才会最大。
有了结论后，思考能拆成几个数呢？也就是k如何确定？比如n=11：
所以思路不正确。

三、参考学习

【343. 整数拆分】参考学习链接

3.1动态规划思路

原理：分成两个因子，固定一个j，可以继续对n-j拆分。有了固定，就方便遍历。
同时可以发现下图中：两个因子在n/2之后重复，颠倒顺序而已。所以，遍历到n/2即可结束。
dp数组含义和下标含义：一维数组dp[i]。当n=i时，拆分因子后的最大乘积值是dp[i]。
递推公式：

当拆成两个因子：j * (i-j)；
当拆成三个及以上的因子：固定j，继续对i-j拆分。那么i-j拆分后的最大乘积是dp[i-j]。所以此时乘积为j * dp[i-j]。
选择最大的：max(j * (i-j) , j * dp[i-j])。
dp[i] = max(j * (i-j) , j * dp[i-j] , dp[i])；为什么有dp[i]？因为j是不断遍历的，dp[i]暂时存放某一个j得出的最大乘积。所以加上dp[i]后比较。

初始化：

dp[0]没有含义，dp[0] = 0作为因子乘以 j 后依然是0。不影响结果。
dp[1]没有含义，dp[1] = 0作为因子乘以 j 后依然是0。不影响结果。
dp[2] = 1.

遍历顺序：递推公式dp[i]用到dp[i-j]在dp[i]的前面，所以遍历从前往后。

3.2代码实现【动态规划】

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        //定义dp数组
       vector<int> dp(n+1,0);
        //初始化
        dp[2] = 1;

        //遍历顺序
        for(int i = 3;i < n+1;i++){//总和为i
            for(int j = 1;j <= i/2;j++){//拆分两个因子
                dp[i] = max(max(j * (i-j), j * dp[i-j]),dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

3.3贪心算法思路

应用结论：把n拆成多个3，直到无法再拆成3，最后如果是4，则保留4作为最后一个因子。这样得到的乘积最大。
2是质数，3是质数，没有别的加数，拆到因子包含多个3这一步，对于3无法再继续拆。那么将n尽可能的拆成多个3，最后保留小于等于4的因子，因子之间近似相等，并且无法拆分。
为什么不是到质数5停止？因为5 = 2+3，还有两个加数。（不是严格证明，可以这样辅助理解下）

3.4 代码实现【贪心：尽可能的拆分多个3】

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        if(n == 2) return 1;
        if(n == 3) return 2;
        if(n ==4) return 4;

        int result = 1;
        while(n > 4){
            result *= 3;
            n -= 3;
        }
        result *= n;
        return result;
    }
};