朱利亚集合和曼德布洛特集合及其图像

news2025/1/15 7:06:04

朱利亚集合和曼德布洛特集合及其图像

朱利亚集合（Julia Set）和曼德布洛特集合（Mandelbrot Set）除了数学理论上的意义，所生成的分形图像，因其独特的几何美感和无限的复杂性，还被广泛应用于计算机图形学和艺术创作中，生成具有迷人复杂图案的分形图像。本文将使用Python 及NumPy、Matplotlib 库来计算和绘制朱利亚集合（Julia Set）和曼德布洛特集合（Mandelbrot Set）的图像。

朱利亚集合（Julia Set）和曼德布洛特集合（Mandelbrot Set），都是复数平面上的 fractals（分形），它们彼此之间有着密切的关系，但又在图形上表现得不同。

曼德布洛特集合（Mandelbrot Set）和朱利亚集合（Julia Set）公式是一样的，

其中C是复数常数。

这是两种等价表达方式，第一种是连续形式，第二种是递归形式。

但它们的定义和计算方法有所不同：

朱利亚集合：

C是固定的复数常数

Z 是变量，代表复平面上的每个点

曼德布洛特集合：

C是变量，代表复平面上的每个点

Z的初始值固定为 0 (Z0 = 0)

两者关系：

曼德布洛特集合可以被视为朱利亚集合的"参数空间"或"索引"。曼德布洛特集合中的每个点对应一个特定的朱利亚集合。

曼德布洛特集合（Mandelbrot Set）和朱利亚集合（Julia Set）是描述同一数学现象——分形几何——的两个不同的视角或方式。具体来说，它们都是基于相同的迭代过程，但从不同的角度进行观察和研究。

朱利亚集合（Julia Set）图像

常数c的选择会极大影响朱利亚集合的形状。

调整迭代次数可以影响图像的精细程度。

使用Python 及NumPy、Matplotlib 库来计算和绘制朱利亚集合图像。

【您可能需要使用以下命令安装：

pip install numpy matplotlib 】

源码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def julia_set(h, w, max_iter, c):
    # h: 图像高度像素
    # w: 图像宽度像素
    # max_iter: 最大迭代次数，增加其值可以获得更精细的细节，但计算时间加长
    # c: 朱利亚集合的复数参数

    # 创建复平面上的网格
    # np.ogrid 生成一个开放网格，比 np.mgrid 更内存效率
    # 1j 告诉 numpy 使用复数步长，从而创建复数网格
    y, x = np.ogrid[-1.4:1.4:h*1j, -2:2:w*1j]
    
    # 将 x 和 y 组合成复数平面
    z = x + y*1j
    
    # 初始化发散时间数组，全部设置为最大迭代次数
    divtime = max_iter + np.zeros(z.shape, dtype=int)
    
    for i in range(max_iter):
        # 应用朱利亚集合迭代公式
        z = z**2 + c
        
        # 检查哪些点发散（模大于2）
        # np.conj 计算复数的共轭，用于计算模的平方
        diverge = z*np.conj(z) > 2**2
        
        # 找出本次迭代新发散的点
        div_now = diverge & (divtime==max_iter)
        
        # 记录新发散点的发散时间
        divtime[div_now] = i
        
        # 将发散的点设置为2，防止溢出
        z[diverge] = 2
    
    return divtime


# 设置参数
h, w = 1000, 1500
max_iter = 100
c = -0.4 + 0.6j  # 可以尝试不同的 c 值

# 计算朱利亚集合
julia = julia_set(h, w, max_iter, c)

# 创建图像
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
#其中cmap='hot'，使用 'hot' 颜色映射来显示结果。还可选用如 'viridis'、'cool' 或 'plasma'
ax.imshow(julia, cmap='hot', extent=[-2, 2, -1.4, 1.4])
ax.set_title(f'Julia Set for c = {c}')
ax.set_xlabel('Re(z)')
ax.set_ylabel('Im(z)')

# 显示图像
plt.show()

# 保存图像（可选）
# plt.savefig('julia_set.png', dpi=300, bbox_inches='tight')

运行效果：

以下是一些著名的和视觉上吸引人的 c 值，您可以在之前的代码中尝试：

c = -0.4 + 0.6j
经典的"树枝状"朱利亚集合
c = -0.8 + 0.156j
著名的"龙形"朱利亚集合
c = -0.7269 + 0.1889j
复杂的螺旋结构
c = 0.285 + 0.01j
精致的"雪花"图案
c = -0.835 - 0.2321j
"兔子"朱利亚集合
c = -0.8 + 0.2j
"海马"形状
c = -0.75
对称的分形图案
c = -0.1 + 0.651j
有趣的"爪形"结构
c = -0.39054 - 0.58679j
"树枝状"结构
c = 0.355534 - 0.337292j
复杂的分形结构

曼德布洛特集合（Mandelbrot Set）图像

使用 NumPy 和 Matplotlib 库来计算和绘制曼德布洛特集合（Mandelbrot Set）图像。源码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def mandelbrot_set(h, w, max_iter, y, x):
    """
    计算 Mandelbrot 集。
    
    参数:
    h, w : int
        图像的高度和宽度。
    max_iter : int
        最大迭代次数。
    y, x : numpy.ndarray
        复平面上的y和x坐标网格。
    
    返回:
    numpy.ndarray
        每个点的发散时间。
    """
    # 创建复数平面
    c = x + y*1j
    
    # 初始化z为c（Mandelbrot集的特性）
    z = c
    
    # 初始化发散时间数组
    divtime = max_iter + np.zeros(z.shape, dtype=int)

    for i in range(max_iter):
        # 应用Mandelbrot迭代公式: z = z^2 + c
        z = z**2 + c
        
        # 检查哪些点发散（模大于2）
        diverge = z*np.conj(z) > 2**2
        
        # 找出本次迭代新发散的点
        div_now = diverge & (divtime==max_iter)
        
        # 记录新发散点的发散时间
        divtime[div_now] = i
        
        # 将发散的点设置为2，防止数值溢出
        z[diverge] = 2

    return divtime

def plot_mandelbrot(h, w, max_iter, y_range, x_range, cmap='viridis', title='Mandelbrot Set'):
    """
    绘制 Mandelbrot 集。
    
    参数:
    h, w : int
        图像的高度和宽度。
    max_iter : int
        最大迭代次数。
    y_range : tuple
        y轴的范围，格式为(y_min, y_max)。
    x_range : tuple
        x轴的范围，格式为(x_min, x_max)。
    cmap : str, 可选
        颜色映射的名称。默认为'viridis'。
    title : str, 可选
        图像的标题。默认为'Mandelbrot Set'。
    """
    # 创建复平面上的网格
    y, x = np.ogrid[y_range[0]:y_range[1]:h*1j, x_range[0]:x_range[1]:w*1j]
    
    # 计算Mandelbrot集
    mandelbrot = mandelbrot_set(h, w, max_iter, y, x)

    # 创建图像
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
    
    # 绘制Mandelbrot集
    im = ax.imshow(mandelbrot, cmap=cmap, extent=[x_range[0], x_range[1], y_range[0], y_range[1]])
    
    # 设置标题和坐标轴标签
    ax.set_title(title)
    ax.set_xlabel('Re(c)')
    ax.set_ylabel('Im(c)')
    
    # 添加颜色条
    plt.colorbar(im, ax=ax, label='Iteration count')
    
    # 显示图像
    plt.show()

    # 保存图像（可选）
    # plt.savefig('mandelbrot_set.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
    

# 设置参数
h, w = 1000, 1500
max_iter = 100

# 完整的 Mandelbrot 集
plot_mandelbrot(h, w, max_iter, [-1.4, 1.4], [-2, 0.8], title='Full Mandelbrot Set')

运行效果：