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1. 与408关联解析及本节内容介绍

1 与408关联解析

【2009年真题单选第一题】

1. 为解决计算机主机与打印机之间速度不匹配问题，通常设置一个打印数据缓冲区，主机将要输出的数据依次写入该缓冲区，而打印机则依次从该缓冲区中取出数据。该缓冲区的逻辑结构应该是______。
   A．栈
   B．队列
   C．树
   D．图

【2014年真题单选第一题】

1. 下列程序段的时间复杂度是_____。

count = 0;
for(k = 1; k <= n; k *= 2)
	for(j = 1; j <= n; j++)
		count++;

A．$O\left({\log }_{2}n\right)$
B．$O\left(n\right)$
C．$O\left(n{\log }_{2}n\right)$
D．$O\left(n^2\right)$

【2017年真题单选第一题】

1. 下列函数的时间复杂度是

int func(int n)
{
	int i = 0, sum = 0;
	while(sum < n) sum += ++i;
	return i;
}

A．$O\left(\log n\right)$
B．$O\left(n^{1/2}\right)$
C．$O\left(n\right)$
D．$O\left(n\log n\right)$

【2019年真题单选第一题】

1. 设n是描述问题规模的非负整数，下列程序段的时间复杂度是

x=0;
while(n >= (x + 1) * (x + 1))
	x = x + 1;

A．$O\left(\log n\right)$
B．$O\left(n^{1/2}\right)$
C．$O\left(n\right)$
D．$O\left(n^2\right)$

以及综合应用题也要求说明设计的算法的时间复杂度，或者空间复杂度。

2 本节内容介绍

本节分为两小节讲解。

• 第一小节主要讲解什么是逻辑结构，逻辑结构有哪些，什么是存储结构，存储结构有哪些逻辑结构和存储结构之间有什么关系。
• 第二小节主要讲解什么是时间复杂度，时间复杂度如何计算，各种例子实战时间复杂度的计算，什么是空间复杂度。

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2. 逻辑结构与存储结构

两者对比：

• 逻辑结构：数据元素之间的逻辑关系 - 抽象的
  对人友好
• 存储结构：数据结构在计算机中的表示 - 具体的
  对计算机友好

1 逻辑结构

2 存储结构

• 计算机中任何逻辑结构，都能由顺序存储和链式存储来实现。

顺序存储

• 典型的顺序存储 - 数组
  

C语言实现：

int Array[6]={ l,2,3,4,5,6};//定义数组并初始化
printf ("%d\n", Array[3])//随机访问第4个元素

• 可以任意访问某个地址，时间复杂度相等

链式存储

• 每个元素不连续，通过指针指向下一个节点。

C语言实现：

Typdef struct Lnode
{
	ElemType data;
	struct Lnode *next;
}Lnode,*LinkList;
Lnode *L;
L = (LinkList)malloc(sizeof(Lnode));
A -> next = B; B -> next = C

3 顺序存储与链式存储分析

顺序存储优缺点

优点：

1. 可以实现随机存取。
2. 每个元素占用最少的空间。

缺点：

1. 只能使用整块的存储单元，会产出较多的碎片。

链式存储优缺点

优点：

1. 充分利用所有存储单元，不会出现碎片现象。

缺点：

1. 需要额外的存储空间用来存放下一结点的指针。
2. 只能实现顺序存取。

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3. 时间复杂度与空间复杂度

1 算法定义

• 算法的定义：对特定问题求解步骤的描述。
• 算法的特性：有穷；确定；可行；输入；输出。

2 时间复杂度

• 时间复杂度指算法中所有语句的频度（执行次数）之和。
• 记为：$T(n)=O(f(n))$
  其中，$n$是问题的规模；$f(n)$是问题规模$n$的某个函数。

表示随着问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同。

• 常见的时间复杂度：
  $$O\left(1\right)<O\left({\log }_{2}n\right)<O\left(n\right)<O\left(n{\log }_{2}n\right)<O\left(n^2\right)<O\left(n^3\right)<O\left(2^n\right)<O\left(n!\right)$$

最高阶数越小，说明算法的时间性能越好。

常见的时间复杂度量级：

【示例程序1】

int sum = 0; //执行一次
sum = n *(n+1)/2; //执行一次
printf("%d", sum); //执行一次

算法的执行次数等于3。
时间复杂度为$T(n)=O(1)$
表示不会随n的增长而增长。

并没有循环，程序只执行了一次。
执行次数是固定的。
不存在O(2)、O(3)等等。

【示例程序2】

【2011年计算机联考真题】

int x = 2; 
while(x < n / 2)
	x = 2 * x;

执行频率最高的语句为“x=2*x”。
设该语句共执行了t次，则$2^{t+1}<n/2$，故$t=lo{g}_2(n/2)-1=lo{g}_{2}n-2$
时间复杂度$T(n)=O(lo{g}_{2}n)$

x的值为2、4、8、16……，即2的幂次增长。
运行t次，x为$2^{t+1}$要$<n/2$，两边同时取对数。
得到t。

【示例程序3】

int sum = 0, i = 1; 
while(i < n)
{
	sum = sum + i;
	i++;
}
printf("%d",sum);

执行频率最高的语句是while循环体中的代码。
一共执行n-1次。
时间复杂度$T(n)=O(n)$

【示例程序4】

int i, x = 2; 
for(i = 0; i < n; i++)
{
	x = 0;
	while(x < n / 2)
		x = 2 * x;
}

执行频率最高的语句为“x=2*x”。
设该语句内层循环执行了$lo{g}_{2}n次$，外层执行了n次，因此总计执行次数为$nlo{g}_{2}n$次。
时间复杂度$T(n)=O(nlo{g}_{2}n)$

【示例程序5】

int i, j; 
for(i = 0; i < n; i++)
{
	for(j = 0; j < m; j++)
		sum = sum + 1;
}

对于外层循环，相当于内部时间复杂度为O(m)的语句再循环n次。
所以时间复杂度$T(n)=O(m\times n)$
如果m=n，则时间复杂度$T(n)=O(n^2)$

时间复杂度的乘法规则

【示例程序6】

int sum1 = 0, sum2 = 0, i, j; 
for(i = 0; i < n; i++)
	sum1 = sum1 + i;
for(j = 0; j < m; j++)
	sum2 = sum2 + j;
printf("%d, %d", sum1, sum2);
}

两个循环没有嵌套，串行执行。
所以时间复杂度$T(n)=O(n)+O(m)$
取最大的，即时间复杂度$T(n)=max(O(n),O(m))$

时间复杂度的加法规则

【思考题】

如果一个算法的执行次数为$3n^3+5n$，那么该算法的时间复杂度为多少?

答案是$O(n^3)$

• 时间复杂度计算忽略高阶项系数和低阶项。

3 空间复杂度

• 空间复杂度S(n)指算法运行过程中所使用的辅助空间的大小。

• 记为：
  $$S(n)=O(f(n))$$

• 除了需要存储算法本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元。

• 若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。

• 算法原地工作是指算法所需的辅助空间是常量，即$O(1)$。

空间复杂度$O(1)$
例如，n个元素数组排序，不使用额外的空间（随着n的增长而增长的空间），空间复杂度就是$O(1)$。

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总结

2

• 逻辑结构：数据元素之间的逻辑关系 - 抽象的
  对人友好
• 存储结构：数据结构在计算机中的表示 - 具体的
  对计算机友好

2.2

• 计算机中任何逻辑结构，都能由顺序存储和链式存储来实现。

2.3

顺序存储优缺点：
优点：

1. 可以实现随机存取。
2. 每个元素占用最少的空间。

缺点：

1. 只能使用整块的存储单元，会产出较多的碎片。

链式存储优缺点：
优点：

1. 充分利用所有存储单元，不会出现碎片现象。

缺点：

1. 需要额外的存储空间用来存放下一结点的指针。
2. 只能实现顺序存取。

3.1

• 算法的定义：对特定问题求解步骤的描述。
• 算法的特性：有穷；确定；可行；输入；输出。

3.2

• 时间复杂度指算法中所有语句的频度（执行次数）之和。
• 记为：$T(n)=O(f(n))$
  其中，$n$是问题的规模；$f(n)$是问题规模$n$的某个函数。

表示随着问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同。

• 常见的时间复杂度：
  $$O\left(1\right)<O\left({\log }_{2}n\right)<O\left(n\right)<O\left(n{\log }_{2}n\right)<O\left(n^2\right)<O\left(n^3\right)<O\left(2^n\right)<O\left(n!\right)$$

最高阶数越小，说明算法的时间性能越好。

• 时间复杂度计算忽略高阶项系数和低阶项。

3.3

• 空间复杂度S(n)指算法运行过程中所使用的辅助空间的大小。

• 记为：
  $$S(n)=O(f(n))$$

• 除了需要存储算法本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元。

• 若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。

• 算法原地工作是指算法所需的辅助空间是常量，即$O(1)$。

空间复杂度$O(1)$
例如，n个元素数组排序，不使用额外的空间（随着n的增长而增长的空间），空间复杂度就是$O(1)$。