1. 线性规划基础

1.1 基本概念

线性规划（Linear Programming, LP）是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。它在运筹学、经济学、工程学等领域中有广泛的应用。线性规划的基本形式可以表示为：

$$\text{max (or min)}z=c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n$$

$$\text{Subject to}\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& \le b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& \le b_2\\ & ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& \le b_m\end{array}$$

$$x_1,x_2,\dots ,x_n\ge 0$$

其中，z是目标函数，$$x_1,x_2,\dots ,x_n$$ 是决策变量，$$c_1,c_2,\dots ,c_n$$是目标函数的系数，$$a_{ij}$$是约束条件的系数，$$b_i$$ 是约束条件的常数。线性规划的目标是找到决策变量的最优值，使得目标函数达到最大化（或最小化），同时满足所有约束条件。

1.2 求解方法

线性规划的求解方法主要包括图解法和单纯形法（Simplex Method）。图解法适用于决策变量个数较少（一般为两个）的情况，通过绘制可行解空间图，寻找目标函数的最优解。对于更复杂的多变量问题，单纯形法是一种更为通用和高效的求解方法。单纯形法通过在多面体的顶点之间移动，逐步寻找最优解。

此外，随着计算机技术的发展，内点法（Interior Point Method）等其他算法也得到了广泛应用。现代线性规划问题通常通过计算机软件，如MATLAB、LINDO、Gurobi等进行求解。

2 线性规划经典问题

2.1 生产计划问题

在一个工厂中，生产不同产品所需的原材料、劳动力和时间有限，而每种产品的利润不同。通过线性规划，可以在这些限制条件下，确定不同产品的生产数量，使得工厂的总利润最大化。例如，假设工厂需要生产两种产品，每种产品的利润分别为 p1 和 p2，需要的原材料和时间分别受到限制，目标是最大化利润：

$$\text{Maximize}z=p_1{x}_1+p_2{x}_2$$

$$\text{Subject to}\begin{array}{rl}{a}_1{x}_1+a_2{x}_2& \le b_1\text{(原材料约束)}\\ t_1{x}_1+t_2{x}_2& \le b_2\text{(时间约束)}\\ x_1,x_2& \ge 0\end{array}$$

通过求解这个线性规划问题，工厂可以得到在约束条件下的最优生产方案。

2. 2 运输问题

运输问题是线性规划的经典应用之一，旨在确定货物从多个供应点运送到多个需求点的最优方式，以最小化运输成本。假设有 m\个供应点和 n个需求点，每个供应点的供应量为 $$s_i$$，每个需求点的需求量为 $$d_j$$，每单位货物从供应点 (i) 运输到需求点 (j) 的费用为 (c_{ij})。问题可以表述为：

$$\text{Minimize}z=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{c}_{ij}{x}_{ij}$$

$$\text{Subject to}\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^n{x}_{ij}& =s_i(i=1,2,\dots ,m)\\ \sum _{i=1}^m{x}_{ij}& =d_j(j=1,2,\dots ,n)\\ x_{ij}& \ge 0\text{for all }i,j\end{array}$$

通过求解这个问题，企业可以确定货物从供应点到需求点的最优运输方案。

案例1：生产计划问题

背景

某制造公司生产两种产品：产品A和产品B。公司希望在每月的生产计划中最大化利润。每种产品的生产需要耗费不同的资源，包括机器时间和人工时间，且公司有一定的资源限制。

• 资源限制：

  • 每月可用的机器时间为2400小时。
  • 每月可用的人工时间为1600小时。

• 产品生产：

  • 生产1单位的产品A需要4小时的机器时间和2小时的人工时间，利润为每单位3元。
  • 生产1单位的产品B需要2小时的机器时间和4小时的人工时间，利润为每单位4元。

目标：
公司希望确定每月应该生产多少单位的产品A和B，以最大化总利润。

模型建立

$$\text{Maximize}z=3x_1+4x_2$$

$$\text{Subject to}\begin{array}{rl}4x_1+2x_2& \le 2400\text{(机器时间约束)}\\ 2x_1+4x_2& \le 1600\text{(人工时间约束)}\\ x_1,x_2& \ge 0\end{array}$$

其中，x1 表示产品A的生产数量，x2 表示产品B的生产数量。

模型求解

参考代码如下：

from pulp import LpMaximize, LpProblem, LpVariable, LpStatus

# 创建线性规划问题对象，目标是最大化利润
model = LpProblem(name="production-planning", sense=LpMaximize)

# 决策变量
x1 = LpVariable(name="x1", lowBound=0)  # 产品A的生产数量
x2 = LpVariable(name="x2", lowBound=0)  # 产品B的生产数量

# 目标函数
model += 3 * x1 + 4 * x2, "Profit"

# 约束条件
model += (4 * x1 + 2 * x2 <= 2400), "Machine_Time_Constraint"
model += (2 * x1 + 4 * x2 <= 1600), "Labor_Time_Constraint"

# 求解问题
model.solve()

# 输出结果
print(f"Status: {LpStatus[model.status]}")
print(f"Optimal production of Product A: {x1.value()} units")
print(f"Optimal production of Product B: {x2.value()} units")
print(f"Maximum Profit: {model.objective.value()} units")

运行如下：

求解后得到的最优解为：

• 生产产品A的数量为 533.33 单位
• 生产产品B的数量为 133.33 单位

则最大利润为：

$$z=3\times 533.33+4\times 133.33=1600+533.33=2133.33\text{元}$$

即每月生产 533.33 单位的产品A和 133.33 单位的产品B，可以实现最大利润 2133.33 元。

案例2：运输问题

背景

某物流公司有两个仓库A和B，分别供应商品给三个客户C1、C2、C3。每个仓库的库存和每个客户的需求量如下：

• 仓库库存：

  • 仓库A：供应量为500单位。
  • 仓库B：供应量为600单位。

• 客户需求：

  • 客户C1：需求量为300单位。
  • 客户C2：需求量为400单位。
  • 客户C3：需求量为400单位。

• 运输费用（每单位）：

  • 从仓库A到C1、C2、C3的费用分别为2元、4元、5元。
  • 从仓库B到C1、C2、C3的费用分别为3元、1元、6元。

目标：
确定从每个仓库运输到每个客户的数量，以最小化总运输费用。

模型建立

$$\text{Minimize}z=2x_{A1}+4x_{A2}+5x_{A3}+3x_{B1}+1x_{B2}+6x_{B3}$$

$$\text{Subject to}\begin{array}{rl}{x}_{A1}+x_{A2}+x_{A3}& \le 500\text{(仓库A的供应量)}\\ x_{B1}+x_{B2}+x_{B3}& \le 600\text{(仓库B的供应量)}\\ x_{A1}+x_{B1}& =300\text{(客户C1的需求)}\\ x_{A2}+x_{B2}& =400\text{(客户C2的需求)}\\ x_{A3}+x_{B3}& =400\text{(客户C3的需求)}\\ x_{A1},x_{A2},x_{A3},x_{B1},x_{B2},x_{B3}& \ge 0\end{array}$$

模型求解

参考代码：

from pulp import LpMinimize, LpProblem, LpVariable, lpSum, LpStatus

# 创建线性规划问题对象，目标是最小化运输费用
model = LpProblem(name="transportation-problem", sense=LpMinimize)

# 决策变量
x_A1 = LpVariable(name="x_A1", lowBound=0)  # 从仓库A到客户C1
x_A2 = LpVariable(name="x_A2", lowBound=0)  # 从仓库A到客户C2
x_A3 = LpVariable(name="x_A3", lowBound=0)  # 从仓库A到客户C3
x_B1 = LpVariable(name="x_B1", lowBound=0)  # 从仓库B到客户C1
x_B2 = LpVariable(name="x_B2", lowBound=0)  # 从仓库B到客户C2
x_B3 = LpVariable(name="x_B3", lowBound=0)  # 从仓库B到客户C3

# 目标函数
model += lpSum([2*x_A1 + 4*x_A2 + 5*x_A3 + 3*x_B1 + 1*x_B2 + 6*x_B3]), "Total_Transport_Cost"

# 约束条件
model += (x_A1 + x_A2 + x_A3 <= 500), "Supply_Constraint_A"
model += (x_B1 + x_B2 + x_B3 <= 600), "Supply_Constraint_B"
model += (x_A1 + x_B1 == 300), "Demand_Constraint_C1"
model += (x_A2 + x_B2 == 400), "Demand_Constraint_C2"
model += (x_A3 + x_B3 == 400), "Demand_Constraint_C3"

# 求解问题
model.solve()

# 输出结果
print(f"Status: {LpStatus[model.status]}")
print(f"Optimal transport from A to C1: {x_A1.value()} units")
print(f"Optimal transport from A to C2: {x_A2.value()} units")
print(f"Optimal transport from A to C3: {x_A3.value()} units")
print(f"Optimal transport from B to C1: {x_B1.value()} units")
print(f"Optimal transport from B to C2: {x_B2.value()} units")
print(f"Optimal transport from B to C3: {x_B3.value()} units")
print(f"Minimum Transport Cost: {model.objective.value()} units")

运行如下：

求解后的最优方案为：

• 从仓库A向客户C1运送100单位，向客户C3运送400单位，不向客户C2运送。
• 从仓库B向客户C1运送200单位，向客户C2运送400单位，不向客户C3运送。

此时的最小总运输费用为：

$$z=2\times 100+4\times 0+5\times 400+3\times 200+1\times 400+6\times 0=200+0+2000+600+400+0=3200\text{元}$$

案例3：货机货物装载问题

问题背景

一架货机有三个货舱：前舱、中舱和后舱。每个货舱能够装载的货物的最大重量和体积有限制，具体如表1.1所示。为了保证飞机的平衡，三个货舱装载的货物重量必须与其最大承载的容量成比例。

表1.1 货舱数据

货舱	重量限制 (吨)	体积限制 (m³)
前舱	10	6800
中舱	16	8700
后舱	8	5300

现有四类货物可用该货机进行装运，货物的规格及装运后获得的利润如表1.2所列。

表1.2 货物规格及利润表

货物种类	重量 (吨)	空间 (m³/吨)	利润 (元/吨)
货物1	18	480	3100
货物2	15	650	3800
货物3	23	580	3500
货物4	12	390	2850

假设条件

1. 每种货： 物可以无限细分；
2. 每种货物可以分布在一个或多个货舱内；
3. 不同的货物可以放在同一个货舱内，并且可以保证不留空隙。

问题要求

在满足各货舱重量和体积限制的前提下，如何安排货物装载，使得货机飞行后的总利润最大化？

根据您提供的图片中的内容，我们可以得到一个完整的线性规划问题，具体如下：

模型建立

• 决策变量：
  每种货物放在每个货舱内的重量。用 $$x_{ij}$$ 表示第 i种货物放在第 j 个货舱内的重量，其中 i = 1, 2, 3, 4 分别表示货物1、货物2、货物3和货物4；j = 1, 2, 3 分别表示前舱、中舱和后舱。

• 目标函数：
  最大化总利润：
  $$Z=3100(x_{11}+x_{12}+x_{13})+3800(x_{21}+x_{22}+x_{23})+3500(x_{31}+x_{32}+x_{33})+2850(x_{41}+x_{42}+x_{43})$$

• 约束条件：

  1. 每种货物的重量限制：
     $$\begin{array}{rl}{x}_{11}+x_{12}+x_{13}& \le 18(\text{货物1的重量限制})\\ x_{21}+x_{22}+x_{23}& \le 15(\text{货物2的重量限制})\\ x_{31}+x_{32}+x_{33}& \le 23(\text{货物3的重量限制})\\ x_{41}+x_{42}+x_{43}& \le 12(\text{货物4的重量限制})\end{array}$$

  2. 三个货舱的空间限制：
     $$\begin{array}{rl}480x_{11}+650x_{21}+580x_{31}+390x_{41}& \le 6800(\text{前舱体积限制})\\ 480x_{12}+650x_{22}+580x_{32}+390x_{42}& \le 8700(\text{中舱体积限制})\\ 480x_{13}+650x_{23}+580x_{33}+390x_{43}& \le 5300(\text{后舱体积限制})\end{array}$$

  3. 三个货舱的重量限制：
     $$\begin{array}{rl}{x}_{11}+x_{21}+x_{31}+x_{41}& \le 10(\text{前舱重量限制})\\ x_{12}+x_{22}+x_{32}+x_{42}& \le 16(\text{中舱重量限制})\\ x_{13}+x_{23}+x_{33}+x_{43}& \le 8(\text{后舱重量限制})\end{array}$$

  4. 三个货舱装入重量的平衡约束：
     $$\frac{x_{11}+x_{21}+x_{31}+x_{41}}{10}=\frac{x_{12}+x_{22}+x_{32}+x_{42}}{16}=\frac{x_{13}+x_{23}+x_{33}+x_{43}}{8}$$

模型求解

参考Python代码：

from pulp import LpMaximize, LpProblem, LpVariable, LpStatus

# 创建线性规划问题对象，目标是最大化利润
model = LpProblem(name="cargo-loading", sense=LpMaximize)

# 决策变量，每种货物在每个舱内的重量
x11 = LpVariable(name="x11", lowBound=0)  # 货物1在前舱的重量
x12 = LpVariable(name="x12", lowBound=0)  # 货物1在中舱的重量
x13 = LpVariable(name="x13", lowBound=0)  # 货物1在后舱的重量

x21 = LpVariable(name="x21", lowBound=0)  # 货物2在前舱的重量
x22 = LpVariable(name="x22", lowBound=0)  # 货物2在中舱的重量
x23 = LpVariable(name="x23", lowBound=0)  # 货物2在后舱的重量

x31 = LpVariable(name="x31", lowBound=0)  # 货物3在前舱的重量
x32 = LpVariable(name="x32", lowBound=0)  # 货物3在中舱的重量
x33 = LpVariable(name="x33", lowBound=0)  # 货物3在后舱的重量

x41 = LpVariable(name="x41", lowBound=0)  # 货物4在前舱的重量
x42 = LpVariable(name="x42", lowBound=0)  # 货物4在中舱的重量
x43 = LpVariable(name="x43", lowBound=0)  # 货物4在后舱的重量

# 目标函数：最大化利润
model += (3100 * (x11 + x12 + x13) +
          3800 * (x21 + x22 + x23) +
          3500 * (x31 + x32 + x33) +
          2850 * (x41 + x42 + x43)), "Total_Profit"

# 约束条件
# 1. 货物重量约束
model += (x11 + x12 + x13) <= 18, "Weight_Limit_Item1"
model += (x21 + x22 + x23) <= 15, "Weight_Limit_Item2"
model += (x31 + x32 + x33) <= 23, "Weight_Limit_Item3"
model += (x41 + x42 + x43) <= 12, "Weight_Limit_Item4"

# 2. 货舱的空间限制
model += (480 * x11 + 650 * x21 + 580 * x31 + 390 * x41) <= 6800, "Volume_Limit_Front"
model += (480 * x12 + 650 * x22 + 580 * x32 + 390 * x42) <= 8700, "Volume_Limit_Middle"
model += (480 * x13 + 650 * x23 + 580 * x33 + 390 * x43) <= 5300, "Volume_Limit_Back"

# 3. 货舱的重量限制
model += (x11 + x21 + x31 + x41) <= 10, "Weight_Limit_Front"
model += (x12 + x22 + x32 + x42) <= 16, "Weight_Limit_Middle"
model += (x13 + x23 + x33 + x43) <= 8, "Weight_Limit_Back"

# 4. 平衡约束
model += (x11 + x21 + x31 + x41) / 10 == (x12 + x22 + x32 + x42) / 16 == (x13 + x23 + x33 + x43) / 8, "Balance_Constraint"

# 求解模型
model.solve()

# 输出结果
print(f"Status: {model.status}, {LpStatus[model.status]}")
print(f"x11 = {x11.value()}")
print(f"x12 = {x12.value()}")
print(f"x13 = {x13.value()}")
print(f"x21 = {x21.value()}")
print(f"x22 = {x22.value()}")
print(f"x23 = {x23.value()}")
print(f"x31 = {x31.value()}")
print(f"x32 = {x32.value()}")
print(f"x33 = {x33.value()}")
print(f"x41 = {x41.value()}")
print(f"x42 = {x42.value()}")
print(f"x43 = {x43.value()}")
print(f"Total Profit = {model.objective.value()} 元")

运行代码得到最优结果。

最优装载方案：

• 前舱：
  • 货物1：0.0 吨
  • 货物2：10.0 吨
  • 货物3：0.0 吨
  • 货物4：0.0 吨
• 中舱：
  • 货物1：0.0 吨
  • 货物2：0.0 吨
  • 货物3：12.947 吨
  • 货物4：3.053 吨
• 后舱：
  • 货物1：0.0 吨
  • 货物2：5.0 吨
  • 货物3：3.0 吨
  • 货物4：0.0 吨

总利润：
最大化后的总利润为 121515.79 元。