面试题 08.06. 汉诺塔问题
leetcode链接：https://leetcode.cn/problems/hanota-lcci/description/
在经典汉诺塔问题中，有 3 根柱子及 N 个不同大小的穿孔圆盘，盘子可以滑入任意一根柱子。
一开始，所有盘子自上而下按升序依次套在第一根柱子上(即每一个盘子只能放在更大的盘子上面)。
移动圆盘时受到以下限制:
(1) 每次只能移动一个盘子;
(2) 盘子只能从柱子顶端滑出移到下一根柱子;
(3) 盘子只能叠在比它大的盘子上。
请编写程序，用栈将所有盘子从第一根柱子移到最后一根柱子。
你需要原地修改栈。
示例1:
输入：A = [2, 1, 0], B = [], C = []
输出：C = [2, 1, 0]
示例2:
输入：A = [1, 0], B = [], C = []
输出：C = [1, 0]
提示:
A中盘子的数目不大于14个。
本文章主要围绕两个问题来展开：
1.为什么汉诺塔问题能使用递归？
2.如何解决汉诺塔问题？
为什么汉诺塔问题能使用递归？
可以使用递归的题目，可以总结为一句话：
解决大问题，可以使用相同类型的子问题
解决子问题 ，可以使用相同类型的子问题
我们来对汉诺塔问题进行分析：
当N = 1时，移动的策略：
直接将A中的盘子转移到C中
当N = 2时，移动的策略:
1.将A上面的第一个盘子移动到B上，
2.将A上面的第二个盘子移动到C上
3.将B上面的盘子移动到C上
当N = 3时，移动的策略:
1.将A上面的第一个盘子移动到C上
2.将A上面的第二个盘子移动到B上
3.将C上面的第一个盘子移动到B上
4.将A上面的第一个盘子移动到C上
5.将B上面的第一个盘子移动到A上
6.将B上面的第二个盘子移动到C上
7.将A上面的第一个盘子移动到C上
通过上面的演示，可以得到什么？
下面的三步
1.将A上面的第一个盘子移动到C上
2.将A上面的第二个盘子移动到B上
3.将C上面的第一个盘子移动到B上
当N = 3时，前面的三步就是将A中的N-1个盘子借助C移动到B上，而这个操作，就是和N = 2时一模一样的。
而下面的这三步，
5.将B上面的第一个盘子移动到A上
6.将B上面的第二个盘子移动到C上
7.将A上面的第一个盘子移动到C上
当N = 3时，这三步就是将B中的N-1个盘子借助A移动到C上，而这个操作，就是和N = 2时一模一样的。
因此，本问题的流程就抽象成什么了？
当解决N = 3时，可以用N = 2的策略 --> 当解决N个盘子的问题时，可以使用N - 1个盘子的策略。
而我前面提到的递归的本质：
解决大问题，可以使用相同类型的子问题
解决子问题 ，可以使用相同类型的子问题
如何写递归的代码？？
写递归的代码，需要三个部分：
1.挖掘出重复的子问题 --> 函数头
2.只关心某一个子问题在做什么 --> 函数体
3.递归的出口 --> 防止死递归
1.挖掘出重复的子问题 --> 函数头
根据前面提到的n = 3时如何转化子问题的内容，将流程抽象出来，就变成了：
当N = 3时，
第一步：将A中的N - 1个盘子借助C转移到B上 (重复的子问题)
第二步：将A中的最后一个盘子转移到C上
第三步: 将B中的N - 1个盘子借助A转移到C上 (重复的子问题)
我们根据重复的子问题设计出函数头。
从上面可以发现，有4个参数，分别是A，B，C和盘子的数量N
因此，函数头设计为：
2.只关心某一个子问题在做什么 --> 函数体
当N = 3时，
第一步：将A中的N - 1个盘子借助C转移到B上 (重复的子问题)
第二步：将A中的最后一个盘子转移到C上
第三步: 将B中的N - 1个盘子借助A转移到C上 (重复的子问题)
我们要从宏观去思考，不要思考dfs如何实现这个任务，把自己当成领导，相信dfs一定能完成你布置的任务。
给dfs布置要给任务，相信dfs一定能完成任务 。
3.递归的出口 --> 防止死递归
n = 1时，不需要借助其他盘子，直接将A上的盘子转移到C上
代码：
class Solution {
public:
void hanota(vector<int>& a, vector<int>& b, vector<int>& c) {
dfs(a, b, c, a.size());
}
void dfs(vector<int>& a, vector<int>& b, vector<int>& c, int n)
{
if (n == 1)
{
//直接将a中的盘子转移到c上
c.push_back(a.back());
a.pop_back();
return;
}
//当有n个盘子的时候
dfs(a, c, b, n - 1); //将a中的n-1个盘子，借助c，转移到b上
//将a中的最后一个盘子转移到c上
c.push_back(a.back());
a.pop_back();
//将b中的n-1个盘子，借助a，转移到c上
dfs(b, a, c, n - 1);
}
};
总结
1.什么问题能使用递归？
解决大问题，可以使用相同类型的子问题
解决子问题 ，可以使用相同类型的子问题
2.如果要写递归，需要哪几步？
第一步：挖掘出相同的子问题 （关系到具体函数头的设计
第二步：只关心具体子问题做了什么 （关系到具体函数体怎么写，是一个宏观的过程）
第三步：找到递归的出口，防止死递归 （关系到如何跳出递归）
