目录

1.数据结构及其分类

2.时间复杂度与空间复杂度及大O表示法

3.循环队列及其判断队空和队满的方法

4.栈与队列在计算机系统中的应用

5.串的模式匹配算法

6.线索二叉树、二叉搜索树、平衡二叉树

7.哈夫曼树与哈夫曼编码

8.DFS与BFS

9.最小生成树及其构建算法

10.最短路径算法

11.拓扑排序、关键路径及其求法

12.B树与B+树

13.哈希表与哈希冲突

14.常见排序算法及复杂度

15.判断链表是否有环

16.NP问题

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1.数据结构及其分类

数据结构是计算机科学中的一个基本概念，它是指计算机中存储、组织数据的方式。数据结构使得数据的存储更加高效，同时也方便了数据的访问和修改。简单来说，数据结构就是数据的组织形式。

数据结构可以分为两大类：逻辑结构和物理结构。

逻辑结构
逻辑结构，也称为数据的组织形式，指的是数据元素之间的逻辑关系。它不涉及数据在计算机内存中的存储细节，而是关注数据元素之间的逻辑连接。逻辑结构主要分为以下几类：

线性结构：数据元素之间存在一对一的关系。例如，数组、链表、栈和队列。
树形结构：数据元素之间存在一对多的关系。例如，二叉树、二叉搜索树、AVL树等。
图形结构：数据元素之间存在多对多的关系。例如，图，包括有向图和无向图。
物理结构
物理结构，又称为存储结构，指的是数据元素在计算机内存中的存储方式。物理结构关注的是数据在内存中的实际布局，包括数据元素的存储顺序、存储方式和访问方法。物理结构主要分为：

顺序存储结构：数据元素在内存中是连续存储的，如数组。
链式存储结构：数据元素在内存中不是连续的，而是通过指针或引用链接在一起，如链表。
通俗易懂的解释
想象一下，数据结构就像我们整理东西的方式。逻辑结构就像是我们如何分类这些物品，比如按颜色、大小或用途来分组。物理结构则像是我们如何实际放置这些物品，是把它们放在同一个抽屉里还是分散在不同的盒子里。

线性结构：就像一排书架，每本书都有它固定的位置，你可以通过编号快速找到任何一本书。
树形结构：就像家庭树，有祖父母、父母、孩子，每一代人都有多个后代。
图形结构：就像一张复杂的地铁图，每个站点都可以连接到多个其他站点。
而物理结构，就像你选择把书放在书架上还是放在箱子里。如果放在书架上，你一眼就能看到所有的书，就像顺序存储；如果放在箱子里，你可能需要打开每个箱子来找到你想要的书，就像链式存储。

2.时间复杂度与空间复杂度及大O表示法

时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的两个重要指标。它们分别描述了算法在执行过程中所需的计算时间（时间复杂度）和存储空间（空间复杂度）。

时间复杂度
时间复杂度描述了算法执行所需时间与输入数据规模之间的关系。它通常用大O表示法来描述。例如，如果一个算法的时间复杂度是O(n)，这意味着算法的执行时间随着输入数据规模n的增长而线性增长。

空间复杂度
空间复杂度描述了算法执行过程中所需的存储空间量。它同样可以使用大O表示法来描述。如果一个算法的空间复杂度是O(1)，这意味着无论输入数据的规模如何，算法所需的存储空间都是常数。

大O表示法
大O表示法是一种用来描述算法性能的数学符号。它表示算法执行时间或空间需求的上限。这里的“O”代表“Order”，即“阶”。大O表示法只关注最高阶项和常数因子，忽略低阶项和常数因子，因为它们对算法性能的影响较小。

通俗易懂的解释
想象你有一个任务，需要处理一堆文件。这些文件的数量就是输入数据的规模。时间复杂度就像是你完成这个任务所需的时间。如果任务是按顺序检查每个文件，那么任务完成的时间会随着文件数量的增加而增加，这就是线性时间复杂度，用O(n)表示。

空间复杂度则像是你完成任务所需的工作台空间。如果不管文件有多少，你总是只需要一个固定的工作台空间，那么这就是常数空间复杂度，用O(1)表示。

大O表示法就像是你给这个任务的效率打一个标签，告诉别人这个任务处理起来有多快或需要多少空间。但是，这个标签只关注最影响效率的部分，比如你不会告诉别人你用了多大的笔或者纸，因为这些不是决定性因素。

3.循环队列及其判断队空和队满的方法

普通情况下，循环队列队空和队满的判定条件是一样的，都是 Q.front == Q.rear。
ps:Q.front 队头指针指向第一个数；Q.rear 队尾指针指向最后一个数的下一个位置，即将要入队的位置。
方法一：牺牲一个单元来区分队空和队满，这个时候(Q.rear+1)%MaxSize == Q.front 才是队满标
志 。
方法二：类型中增设表示元素个数的数据成员。这样，队空的条件为 Q.size == 0;队满的条件为
Q. size == MaxSize。

4.栈与队列在计算机系统中的应用

栈（Stack）和队列（Queue）是两种基本的抽象数据类型，它们在计算机科学和编程中有着广泛的应用。以下是一些常见的应用场景：

栈的应用
函数调用：在编程中，每次函数调用时，系统都会将函数的返回地址和参数压入一个隐式的栈中，称为调用栈。当函数执行完毕时，系统从栈中弹出这些信息，返回到正确的位置继续执行。
表达式求值：在计算数学表达式时，栈可以用来处理运算符的优先级和括号匹配。
撤销操作：许多应用程序（如文本编辑器或图形设计软件）使用栈来实现撤销功能。每次用户执行一个操作时，该操作会被推入栈中，用户可以通过弹出栈顶元素来回滚操作。
回溯算法：在解决一些问题（如迷宫求解、八皇后问题等）时，栈可以用来保存当前状态，以便在遇到死路时回溯到上一个状态。
内存管理：在某些编程语言中，栈用于动态内存分配，如C语言中的自动（局部）变量存储。
队列的应用
任务调度：在操作系统中，队列用于管理进程或线程的执行顺序，确保它们按照特定的调度算法（如先来先服务FCFS）执行。
缓冲区：在数据传输过程中，队列可以作为缓冲区，存储即将发送或接收的数据包。
打印任务管理：在打印系统中，队列用于管理打印任务，确保它们按照接收的顺序打印。
广度优先搜索：在图算法中，队列常用于实现广度优先搜索（BFS），按层次遍历图中的所有顶点。
实时消息系统：在实时通信系统中，队列用于管理消息的发送和接收，确保消息按照发送的顺序被处理。
服务请求处理：在客户服务系统中，队列用于管理客户请求，确保每个请求都能按照先来先服务的原则得到处理。
栈和队列的比较
访问方式：栈是后进先出（LIFO）的数据结构，而队列是先进先出（FIFO）的数据结构。
用途：栈常用于需要回溯或撤销的场景，而队列常用于需要按顺序处理的场景。
实现：栈和队列都可以使用数组或链表来实现，但它们的操作方式不同。

5.串的模式匹配算法

串的模式匹配算法是计算机科学中用于在文本中查找特定模式（子串）的算法。这些算法的效率和实现方式各有不同，但它们的基本目标是确定一个模式串是否出现在给定的文本串中，以及它出现的位置。

暴力匹配算法：这是一种简单直观的方法，通过在文本中逐个位置尝试匹配模式串。如果当前位置不匹配，就移动到下一个位置继续尝试。
KMP（Knuth-Morris-Pratt）算法：这是一种更高效的算法，它预处理模式串以创建一个部分匹配表（也称为"前缀函数"或"失配表"），该表用于在不匹配发生时跳过尽可能多的字符。
通俗易懂的解释
想象你在一本厚重的书中寻找一个特定的单词（模式串）。你可以用两种方法来完成这个任务：

暴力匹配法：
就像你用手指着书中的每个字母，从第一个字母开始，逐字逐句地比较你的单词是否与书中的文本匹配。
如果发现不匹配，你就移动手指到下一个字母，再次开始比较。
这种方法简单，但如果单词很长，或者在书中出现频率不高，你可能需要检查很多次才能找到它。
KMP算法：
在这种方法中，你在开始寻找之前，先对你的单词做一些分析。你创建一个备忘录，记录下你的单词中每个字母之前的所有不同字母组合。
当你在书中查找时，如果发现当前字母不匹配，你不会简单地移动到下一个字母，而是查看你的备忘录，找到你可以跳过多少个字母，直接从那个位置开始新的比较。
这种方法让你在不匹配时能跳过更多字母，因此通常比暴力匹配法更快。
KMP算法的关键点
预处理：在KMP算法中，首先对模式串进行预处理，生成一个"前缀函数"数组，该数组记录了模式串中每个位置之前的最长相同前缀和后缀的长度。
失配时的跳转：当文本串和模式串在某个位置不匹配时，利用前缀函数数组可以确定下一步应该从文本串的哪个位置开始新的匹配尝试。
效率：KMP算法的时间复杂度为O(n+m)，其中n是文本串的长度，m是模式串的长度。这比暴力匹配的O(n*m)要高效得多。
通过这两种方法的比较，我们可以看到KMP算法通过预处理和智能跳转，显著提高了模式匹配的效率，特别是在处理长文本和长模式串时。

6.线索二叉树、二叉搜索树、平衡二叉树

线索二叉树（Threaded Binary Tree）：
是一种特殊的二叉树，通过在树的空指针上添加线索来实现线性遍历。
每个节点除了存储数据外，还包含两个指针，分别指向其左右孩子。
在线索二叉树中，空的左右孩子指针被替换为指向某种遍历序列中的前驱或后继节点的线索。
二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）：
是一种特殊的二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其左子树中所有节点的值，且小于或等于其右子树中所有节点的值。
这种性质保证了二叉搜索树可以高效地进行查找、插入和删除操作。
平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：
是一种特殊的二叉树，其中任何两个叶子节点的深度之差不超过1。
平衡二叉树通过保持树的平衡来确保操作的效率，避免退化成链表状结构。
通俗易懂的解释
线索二叉树：
想象一下，你在图书馆中寻找特定的书籍。图书馆的书架是按照分类排列的，但如果你想快速找到某本书的前后书籍，你需要沿着书架来回查找。
线索二叉树就像是给书架的每个空位贴上了标签，告诉你如果这里没有你想要的书，你应该去哪里找。这样，即使你要找的书不在书架上，你也可以快速地找到它的邻居。
二叉搜索树：
再想象一下，你在一棵按照字母顺序排列的树中寻找一个名字。树的每个节点都是一个名字，左子树包含所有以这个名字开始的字母，右子树包含所有以这个名字结束的字母。
你只需要比较你要找的名字和你当前看到的名字，然后决定是向左走还是向右走。这样，你可以很快地找到名字，或者确定它不在树上。
平衡二叉树：
想象你正在玩一个平衡游戏，你需要保持两边的重量相等。平衡二叉树就像是这个游戏，它不允许树的任何一边比另一边重太多。
如果树开始失去平衡，它会进行调整，确保每个操作（查找、插入、删除）都能尽可能快地完成。这就像是保持游戏的公平性，确保每个操作都能迅速且公平地进行。
详细介绍
线索二叉树：
线索化：将二叉树的空指针转换为线索，可以是前驱线索或后继线索。
遍历：通过线索可以方便地实现原地逆中序遍历，即不需要栈或递归。
二叉搜索树：
性质：保持了中序遍历的性质，即中序遍历结果是有序的。
操作：查找操作的时间复杂度为O(h)，h为树的高度；插入和删除操作可能需要重新调整树的结构。
平衡二叉树：
例子：AVL树和红黑树是两种常见的平衡二叉树。
调整：通过旋转操作（如AVL树的左旋、右旋）或颜色调整（如红黑树）来保持平衡。
性能：确保所有操作的时间复杂度为O(log n)，其中n为树中节点的数量。
这三种二叉树各有特点和适用场景，线索二叉树便于遍历，二叉搜索树便于查找，而平衡二叉树则在保持树的平衡性方面做了优化，以确保所有操作的效率。

7.哈夫曼树与哈夫曼编码

哈夫曼树（Huffman Tree）：
是一种特殊的二叉树，用于数据压缩领域。
它是一种最优的二叉树，其中每个叶节点代表一个字符，非叶节点代表字符的集合。
树的构建基于字符出现的频率，频率高的字符拥有较短的路径长度。
哈夫曼编码（Huffman Coding）：
是一种使用哈夫曼树进行编码的方法。
它是一种变长编码技术，其中频率高的字符被分配较短的编码，频率低的字符被分配较长的编码。
哈夫曼编码是无损的，即可以完全恢复原始数据。
通俗易懂的解释
哈夫曼树：
想象你在组织一个图书馆，需要给每本书分配一个独特的书架位置。哈夫曼树就像是你根据每本书的受欢迎程度来决定它们的位置。最受欢迎的书放在最容易到达的地方，而不那么受欢迎的书则放在更远的地方。
哈夫曼编码：
现在，你不仅给每本书分配了位置，还为它们创建了一种特殊的编码系统。在这个系统中，最受欢迎的书用最短的编码表示，而不那么受欢迎的书用更长的编码表示。这样，当人们想要找到一本书时，他们可以更快地通过编码找到那些最受欢迎的书。
详细介绍
哈夫曼树的构建：
首先统计每个字符出现的频率。
将每个字符视为一个节点，按照频率从小到大排序。
将频率最小的两个节点作为左右孩子合并成一个新的节点，新节点的频率是两个孩子频率之和。
重复上述步骤，直到只剩下一个节点，这个节点就是哈夫曼树的根节点。
哈夫曼编码的过程：
从哈夫曼树的根节点开始，向左走分配“0”，向右走分配“1”。
每个字符的编码就是从根节点到该字符节点的路径上的“0”和“1”的序列。
哈夫曼编码的特点：
编码是唯一的，不会出现歧义。
编码是可变长度的，频率高的字符编码短，频率低的字符编码长。
编码是无损的，可以完整地恢复原始数据。
哈夫曼编码的应用：
在数据压缩领域，哈夫曼编码被广泛应用于文件压缩算法，如DEFLATE算法，它是ZIP文件格式的基础。
在通信领域，哈夫曼编码可以减少传输数据的大小，提高传输效率。
哈夫曼树和哈夫曼编码是一种高效的数据压缩技术，通过优化编码长度来减少存储空间或传输带宽的需求。

8.DFS与BFS

DFS（深度优先搜索，Depth-First Search）：
是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
从根节点开始，尽可能深地搜索树的分支。
使用栈（显式或递归实现的隐式栈）来保存节点。
BFS（广度优先搜索，Breadth-First Search）：
也是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
从根节点开始，逐层遍历节点。
使用队列来保存节点。
通俗易懂的解释
DFS：
想象你在探索一个迷宫，你的目标是找到出口。使用DFS的方法，你会选择一条路一直走到底，直到你到达尽头或找到出口。如果发现这条路不通，你会回到上一个分叉点，选择另一条路继续探索。
BFS：
同样在迷宫中，如果你使用BFS的方法，你会先探索所有离你最近的地方，然后再向外扩展。这意味着你会先查看所有直接相邻的房间，然后再查看这些房间的邻居。
详细介绍
DFS：
从根节点开始，选择一个方向（通常是左或右）深入探索。
到达当前路径的末端后，回溯到上一个节点，并选择另一个方向继续探索。
DFS可以采用递归实现，也可以使用显式的栈来模拟递归过程。
DFS常用于寻找路径、解决八皇后问题等场景。
BFS：
从根节点开始，先探索所有相邻的节点，然后再探索这些节点的相邻节点。
BFS使用队列来保存待访问的节点，每次从队列中取出一个节点，访问其所有未访问的邻居，并将它们加入队列。
BFS常用于寻找最短路径、社交网络中的传播问题等。
DFS与BFS的比较：
空间复杂度：DFS通常使用较少的内存，因为它不需要保存所有待访问的节点。
时间复杂度：两者的时间复杂度相同，都是O(V+E)，其中V是节点数，E是边数。
应用场景：DFS适合于需要深入探索的问题，BFS适合于需要逐层遍历或寻找最短路径的问题。
实现方式：
DFS可以通过递归来实现，也可以使用栈来避免递归的开销。
BFS通常使用队列来实现，因为队列的先进先出特性符合BFS的逐层遍历需求。
DFS和BFS是两种基本的图遍历算法，它们各有优势和适用场景。选择使用哪种算法取决于问题的具体需求和特性。

9.最小生成树及其构建算法

最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）：
是一个无向图的子图，它包含了图中所有的顶点，并且是一棵极小连通子图。
它的边的权值总和是所有包含图中所有顶点的树的最小权边和。
构建最小生成树的算法：
有多种算法可以用于构建最小生成树，其中最著名的是Kruskal算法和Prim算法。
通俗易懂的解释
最小生成树：
想象你在一个岛屿上，需要建造一座桥连接岛上所有的村庄，而且你希望建造的桥总长度尽可能短。最小生成树就像是这座桥的蓝图，它连接了所有村庄，但没有多余的连接，总长度也是最短的。
构建最小生成树的算法：
想象你有一些不同长度的绳子，你需要用这些绳子来建造桥。Kruskal算法就像是你首先将所有绳子按照长度从小到大排序，然后从最短的开始，依次选择绳子来连接村庄，但要确保不会形成闭环。
Prim算法则像是你从一个村庄开始，每次选择能够连接到最远村庄且不形成闭环的最短绳子。
详细介绍
最小生成树的特点：
是一个无环的连通子图。
包含图中所有顶点。
边的权值总和最小。
Kruskal算法：
按照边的权值从小到大的顺序选择边。
选择边的过程中，确保不会形成环。
使用并查集数据结构来快速判断两个顶点是否已经在同一棵树中。
Prim算法：
从一个顶点开始，逐步扩展最小生成树。
在每一步选择连接已在树中的顶点和不在树中的顶点的最小权边。
使用优先队列来快速找到最小的边。
算法比较：
Kruskal算法适合于边稠密的图，因为它首先对边进行排序。
Prim算法适合于顶点稠密的图，因为它每次只扩展一个顶点。
两种算法都可以找到最小生成树，但实现和效率可能因图的稠密程度而异。
应用场景：
最小生成树在网络设计、电路布线、城市规划等领域有广泛应用。
例如，在设计一个覆盖所有用户的通信网络时，最小生成树可以帮助我们以最小的成本连接所有用户。
最小生成树是一种有效的数据结构，用于在加权图中找到连接所有顶点的最小成本路径。通过Kruskal算法和Prim算法，我们可以高效地构建出这样

10.最短路径算法

最短路径算法是用于在加权图中找到两个顶点之间的最短路径（即具有最小权值总和的路径）的算法。这些算法各有特点，适用于不同的场景。

Dijkstra算法：
用于有向图或无向图中的单源最短路径问题。
可以处理带有正权值的边，但不能处理负权边。
Bellman-Ford算法：
可以处理图中的负权边，但不可以有负权回路。
适用于单源最短路径问题。
Floyd-Warshall算法：
计算所有顶点对之间的最短路径。
适用于密集图，可以处理正权和负权边，但不能有负权回路。
A*搜索算法：
一种启发式搜索算法，用于图搜索中的路径规划问题。
结合了Dijkstra算法和启发式信息来加快搜索速度。
通俗易懂的解释
Dijkstra算法：
想象你在规划一次城市旅行，从一个地点出发，想要找到到各个地方的最短路线。Dijkstra算法就像是你有一个地图，你每次都选择当前看起来最近的地点去访问，直到你访问完所有地方。
Bellman-Ford算法：
如果你的旅行地图上有些路线的费用会变化，或者有些非常便宜的路线，Bellman-Ford算法可以帮助你重新计算到每个地方的最短路线，确保考虑到所有可能的便宜路线。
Floyd-Warshall算法：
想象你需要为一个城市的所有地点之间规划公交路线，Floyd-Warshall算法可以帮助你计算出每对地点之间的最短路线，这样你就可以为每个地点对设置公交线路。
A*搜索算法：
如果你在旅行中有一个目的地，而且你有一些关于如何到达那里的线索（启发式信息），A*搜索算法就像是你使用这些线索来帮助你更快地规划出到达目的地的最短路线。
详细介绍及复杂度
Dijkstra算法：
使用贪心策略，从一个顶点开始，逐步扩展到所有顶点。
通常使用优先队列来实现，时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V是顶点数，E是边数。
Bellman-Ford算法：
通过多次松弛操作来更新最短路径估计。
时间复杂度为O(VE)，适用于边数远大于顶点数的稀疏图。
Floyd-Warshall算法：
使用动态规划，同时考虑所有顶点作为中间顶点。
时间复杂度为O(V^3)，适用于计算所有顶点对之间的最短路径。
A*搜索算法：
结合了Dijkstra算法和启发式函数。
时间复杂度取决于启发式函数的质量，理想情况下可以接近O(E)，但在最坏情况下可能退化为O(VE)。
每种算法都有其适用场景和限制。选择哪种算法取决于图的特性（如是否包含负权边）、问题的规模以及是否需要找到单源最短路径或所有顶点对的最短路径。

11.拓扑排序、关键路径及其求法

拓扑排序（Topological Sorting）：
是对有向无环图（DAG）的顶点进行线性排序的过程。

关键路径（Critical Path）：
在工程学和项目管理中，关键路径是项目中最长的路径，其上的活动持续时间决定了整个项目的最短完成时间。
关键路径上的任何延迟都会影响整个项目的完成时间。
求法：
拓扑排序可以通过多种算法实现，如Kahn算法和DFS。
关键路径可以通过网络图方法（如CPM，Critical Path Method）来确定。
通俗易懂的解释
拓扑排序：
想象你正在计划一场晚宴，需要决定上菜的顺序。拓扑排序就像是你根据每道菜的准备时间来决定上菜顺序，确保在上主菜之前，所有的配菜都已经准备好。
关键路径：
想象你在组织一场马拉松比赛，你需要确定比赛的开始和结束时间。关键路径就像是你根据所有选手可能的最快完成时间来计划，确保赛道、补给站和终点线在整个比赛期间都处于就绪状态。
详细介绍
拓扑排序：
Kahn算法：使用一个队列来实现。首先将所有入度为0的顶点（即没有依赖的顶点）加入队列，然后不断从队列中取出顶点，将其加入排序结果，并将其所有出边连接的顶点的入度减1，如果某个顶点的入度变为0，则加入队列。
DFS方法：通过深度优先搜索遍历DAG，将遍历结束的顶点逆序加入结果列表中。
关键路径求法：
网络图方法：首先为图中的每个活动分配持续时间，并确定活动之间的依赖关系。然后，从起始节点开始，使用拓扑排序确定活动执行的顺序，并计算每个活动的最早开始时间（Earliest Start Time, EST）和最晚开始时间（Latest Start Time, LST）。关键路径是那些活动持续时间之和最长的路径。
应用场景：
拓扑排序在任务调度、课程规划、工程流程设计等领域有广泛应用。
关键路径分析在项目管理、建筑施工、软件开发等领域中用于确定项目的最短完成时间和关键任务。
算法复杂度：
拓扑排序的时间复杂度为O(V+E)，其中V是顶点数，E是边数。
关键路径分析的时间复杂度通常与拓扑排序相同，因为关键路径分析中的一个关键步骤是拓扑排序。
拓扑排序和关键路径分析是两个在项目管理和工程调度中非常重要的概念。拓扑排序帮助我们理解任务之间的依赖关系，而关键路径分析则帮助我们识别项目中的关键任务，确保项目能够按时完成。

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(1)拓扑排序
定义：拓扑排序是有向无环图（DAG）的一种排序，它使得图中的所有节点按照线性顺序排列，且
满足图中的所有有向边均从排在前面的节点指向排在后面的节点。
·求拓扑排序
（1）从拓扑图中找到一个入度为 0 的点
（2）删除入度为 0 的点及与其相关联的边（相对应的边的另一端的点的入度会减一）
（3）在删边过程中遇到入度为 0 的点就加入队列
（4）重复上述操作，直到所有的点入度均变为 0 ·如何判断是否存在拓扑排序
如果一个图是连通的，我们可以通过入队的顶点数量来判断图中是否存在环。如果图中存在环，那
么入队的顶点数量一定小于图中所有点的点数和。
（2）关键路径
定义：在项目管理和作业调度中，关键路径指的是项目中不可延误的路径，即完成整个项目所需的最
短时间。
·关键路径求解步骤：
执行拓扑排序，计算每个节点的 ES。
从拓扑排序的末尾开始，逆序计算每个节点的 LS。
计算每个活动的 EF 和 LF，确定关键路径。

12.B树与B+树

 B树（Balanced Tree）：
是一种自平衡的树形数据结构，能够保持数据有序。
每个节点可以有多个子节点，通常用于数据库和文件系统的索引结构。
B+树：
是B树的一种变体，所有数据记录都存放在叶子节点，并且叶子节点之间通过指针相连。
通俗易懂的解释
B树：
想象一下，你在图书馆中寻找一本书。图书馆的书架被分成多个部分，每个部分都有一个标签，上面写着这个部分包含的书籍的作者名范围。B树就像是这种书架，它帮助你快速缩小搜索范围，直到找到你想要的书。
B+树：
再想象一下，图书馆的书架被设计得更加高效。所有的书籍都放在书架的最下面一层，而且这些书籍是按照作者名顺序排列的。书架的每一层都有一个指示牌，告诉你每一层包含的作者名范围。B+树就像是这种设计，它不仅帮助你快速定位到书籍所在的层，还能让你在找到书籍后，轻松地浏览其他相邻的书籍。
详细介绍
B树的特点：
每个节点可以有多个子节点，子节点的数量影响树的分裂和合并操作。
节点的键值数量影响树的平衡性，B树通过动态调整节点的键值来保持平衡。
适用于读写操作相对均衡的场景。
B+树的特点：
所有数据记录都存放在叶子节点，内部节点仅存储键值和子节点指针。
叶子节点之间通过指针相连，便于顺序访问。
适用于读多写少的场景，特别是需要频繁范围查询和顺序访问的情况。
B树与B+树的比较：
B+树的查询效率通常更高，因为它的所有数据都集中在叶子节点，并且叶子节点之间有序连接。
B+树的空间利用率更高，因为它的内部节点不需要存储完整的数据记录。
B树在节点分裂和合并操作上可能更灵活，适用于不同的应用场景。
应用场景：
B树和B+树广泛应用于数据库索引和文件系统，因为它们可以有效地支持大量的数据存储和高效的查询操作。
B+树特别适合于需要顺序访问和范围查询的场景，如全文搜索引擎和大型数据库。
性能：
B树和B+树都通过保持树的平衡性来确保查询、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)，其中n是树中元素的数量。
B树和B+树是两种高效的索引结构，它们通过保持数据的有序性和平衡性，为数据库和文件系统提供了快速的数据访问能力。B+树由于其特殊的结构，特别适合于顺序访问和范围查询密集型的应用。

13.哈希表与哈希冲突

哈希表（Hash Table）：
是一种数据结构，通过使用哈希函数对键（Key）进行计算，得到一个索引值，用于访问数组中存储的元素。
哈希表支持高效的数据插入和查询操作。
哈希冲突（Hash Collision）：
当两个或多个不同的键通过哈希函数计算得到相同的索引值时发生。
冲突会导致数据访问问题，因为一个索引位置不能同时存储多个元素。
解决哈希冲突的方法：
包括链地址法（Chaining）、开放地址法（Open Addressing）、双重哈希（Double Hashing）等。
通俗易懂的解释
哈希表：
想象一下，你有一堆不同颜色的盒子，每个盒子都有一个特定的编号。哈希表就像是这些盒子，你可以通过记住编号快速找到盒子。
哈希冲突：
但是，如果你有太多盒子，而且编号系统不够完善，可能会出现两个盒子有相同编号的情况。这时，你就不能简单地通过编号找到特定的盒子了。
解决哈希冲突的方法：
为了解决这个问题，你可以采取一些策略：
链地址法：每个盒子都有一个挂勾，如果两个盒子编号相同，你可以把两个盒子都挂在同一个挂勾上。
开放地址法：如果发现编号的盒子已经被占用了，你会寻找下一个空的盒子来放置你的东西。
双重哈希：如果一个盒子被占用了，你可以用另一个编号系统来找到另一个可能的空盒子。
详细介绍
哈希表的工作原理：
使用一个哈希函数将输入的键转换为数组索引。
通过这个索引，可以直接访问或存储数据。
哈希冲突的原因：
由于哈希函数的输出范围有限，而键的数量可能非常多，因此不同的键可能会映射到同一个索引。
解决哈希冲突的方法：
链地址法：在每个数组位置维护一个链表，所有映射到该位置的元素都存储在这个链表中。
开放地址法：寻找空的数组位置来存储新元素，可以通过线性探测、二次探测或双重哈希等方法实现。
双重哈希：使用第二个哈希函数来寻找另一个可能的空位置。
再哈希法：使用另一个不同的哈希函数来计算索引。
哈希表的性能：
理想情况下，哈希表的插入和查询操作的时间复杂度为O(1)。
当哈希冲突较多时，性能可能退化，特别是当采用开放地址法时。
哈希表的应用：
哈希表广泛应用于需要快速查找、插入和删除的场景，如数据库索引、缓存实现、编程语言中的对象属性存储等。
哈希表是一种高效的数据结构，通过哈希函数实现快速的数据访问。然而，哈希冲突是其主要的挑战之一，需要通过不同的策略来解决，以保持哈希表的性能。

14.常见排序算法及复杂度

（1）快速排序 (Quick Sort)

·描述： 随机选择一个标杆元素，通过一趟排序将数组划分为两部分，左边部分小于等于标杆元素，右边部分大于等于标杆元素，然后递归地对两部分进行排序。
·时间复杂度： 平均/最好情况为 O(n log n)，最坏情况为 O(n^2)，最坏情况发生在数组已经有序或逆序的情况下。
（2）归并排序 (Merge Sort)

·描述：将原始数据结构分成更小的块，分别对这些块进行排序，然后将排序后的小块合并成有序的大块，直到最终得到完全排序的数据结构。
·时间复杂度： 总是 O(n log n)，因为每次合并操作都需要线性时间完成。
（3）堆排序 (Heap Sort)

·描述： 将待排序数组构建成一个堆（最大堆/最小堆），然后逐步将堆顶元素（最大或最小元素）取出，再调整剩余元素为新的堆，重复此过程直至排序完成。
·时间复杂度： 始终为 O(n log n)，因为每次调整堆的复杂度为 O(log n)。
（4）桶排序 (Bucket Sort)/基数排序
·描述： 将元素分到有限数量的桶中，每个桶内再分别排序（可能使用其他排序算法或递归地使用桶排序），最后将各个桶中的元素合并。
·时间复杂度： 平均情况为 O(n)，最坏情况取决于每个桶内排序算法的选择。
（5）直接插入排序 (Insertion Sort)

·描述： 每次将一个待排序记录插入到已排好序的记录序列中的适当位置，直到全部插入完成。
·时间复杂度： 平均/最好情况为 O(n^2)，最坏情况为 O(n^2)，最坏情况发生在数组完全逆序的情况下。
（6）选择排序 (Selection Sort)

·描述： 每次在未排序序列中选择最小（或最大）元素，放到已排序序列的末尾，直到所有元素排序完成。
·时间复杂度： 平均/最好/最坏情况均为 O(n^2)，因为每次选择最小元素需要线性时间，总共需要进行 n 次选择操作。
（7）希尔排序 (Shell Sort)

·描述： 是插入排序的一种改进版本，通过比较距离较远的元素交换，使得元素能够更快地移动到正确的位置，最后使用插入排序对剩余无序部分进行排序。
·时间复杂度： 取决于增量序列的选择，平均情况为 O(n log n)，最坏情况为 O(n^2)。
（8）折半插入排序 (Binary Insertion Sort)

·描述： 是插入排序的改进版本，通过二分查找找到插入位置，减少比较次数，但仍然是稳定的插入排序方法。
·时间复杂度： 平均/最好情况为 O(n^2)，最坏情况为 O(n^2)，与常规插入排序相同，但比较次数略少。

15.判断链表是否有环

最常见的方法是双指针法，当然使用哈希表也可以完成判断
（1）快慢指针法（双指针法）
·算法描述：
定义两个指针，快指针（fast）和慢指针（slow），初始都指向链表的头部。
快指针每次向前移动两步，慢指针每次向前移动一步。（这个可设置为其他数值，体现出速度差别）
如果链表中存在环，快指针和慢指针最终会在环中的某一点相遇。
如果快指针达到链表尾部（即快指针的 next 为 null），则说明链表无环。
·复杂度：
时间复杂度：( O(n) )，其中 ( n ) 是链表的长度。
空间复杂度：( O(1) )，只使用了常量级的额外空间。
（2）哈希表方法
·算法描述：
使用一个哈希表来存储每个访问过的节点。
遍历链表中的每个节点，检查该节点是否已经在哈希表中：
如果已经存在，则链表有环。
如果不存在，则将该节点加入哈希表中继续遍历。
如果遍历到链表尾部（即节点为 null），仍未找到重复节点，则链表无环。
·复杂度：
时间复杂度：( O(n) )，其中 ( n ) 是链表的长度。
空间复杂度：( O(n) )，因为最坏情况下需要存储整个链表的节点。

16.NP问题

NP问题（Non-deterministic Polynomial-time problem）是计算复杂性理论中的一个概念，属于NP类问题。这些问题的特点是：

1. 验证容易：如果给定一个解，可以在多项式时间内验证这个解是否正确。
2. 解决困难：目前没有已知的多项式时间算法能够解决所有NP问题。

NP问题是那些我们不知道是否存在多项式时间算法的问题，或者至少我们还没有找到这样的算法。

通俗易懂的解释

想象你是一位老师，你的桌子上有一堆学生的试卷，每份试卷都有一个问题和一些可能的答案。NP问题就像是这样的情况：

1. 验证容易：如果一个学生告诉你他的答案，你可以很快地检查这个答案是否正确。这就像是验证一个解，你只需要简单地对照一下标准答案。

2. 解决困难：但是，如果你不知道答案，自己找出正确答案可能会非常耗时。你可能需要尝试很多不同的答案，或者使用一些复杂的方法来解决这个问题。

3. NP问题的本质：在NP问题中，我们不知道是否存在一种快速的方法来找出正确答案，就像我们不知道是否存在一种快速的方法来解决所有这些问题。

详细介绍

1. 定义：

   • NP问题是指那些在给定一个解的情况下，可以在多项式时间内（即与问题规模成多项式关系的时间内）验证解的正确性的问题。

2. P问题：

   • P（多项式时间）问题是那些可以在多项式时间内解决的问题。所有P问题也都是NP问题，因为如果一个问题可以在多项式时间内解决，那么它的解也可以在多项式时间内被验证。

3. NP完全问题（NP-Complete）：

   • NP完全问题是NP问题的一个子集，它们具有这样的特性：所有NP问题都可以在多项式时间内归约到任何一个NP完全问题上。这意味着如果任何一个NP完全问题可以在多项式时间内解决，那么所有的NP问题都可以。

4. NP难问题（NP-Hard）：

   • NP难问题是比NP完全问题更广泛的问题类别，它们至少和NP完全问题一样难，但不一定是NP问题。也就是说，它们可能不存在多项式时间的验证算法。

5. Cook定理：

   • 证明了NP问题的存在性，即存在至少一个NP问题不能在多项式时间内解决，除非P=NP。

6. P vs NP问题：

   • 这是计算机科学中最著名的未解决问题之一，即P是否等于NP。如果P=NP，意味着所有NP问题都可以在多项式时间内解决；如果P≠NP，意味着存在一些问题我们永远无法快速解决。

 

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Habseligkeit：生活中微小的确定的幸福