前言：

二叉树是树形结构的一个重要类型，一般的树也可以转化成二叉树来解决问题。在数据结构的系统中，树形结构也是信息存储和遍历的重要实现，二叉树的最大特点就是一个根包含着左右子树的形式，许多具有层次关系的问题几乎都可以用二叉树来解决。

一、树的概念

树是一种非线性结构，由n（n >=0）个有限节点组成的具有层次关系的集合。树有一个特殊的节点，该节点没有前驱节点，称为根节点。除了根节点之外，每颗子树都有且仅有一个前驱节点，（0<=n<=2）个子节点。在树形结构中，子树之间不能有交集，否则成环就不是子树。树也是基于递归来实现的。

节点的度：当前节点拥有的子树个数称为节点的度，如节点1的度为2

树的度：所有节点的度的最大值称为树的度(二叉树不存在度大于二的节点)

叶子结点（终端结点）：度为0的节点称为叶子结点，如4,5,6,7

双亲结点（父结点）：子节点的前驱节点称为父结点，如1是2的父结点

子节点（孩子节点）：父节点的后继节点称为子节点，如1的子节点是2和3

根节点：没有前驱节点，如1

节点的层：从根开始，根为第一层，依次往下

树的高度（深度）：树的最大层次，如图高度为3

分支结点（非终端结点）：度不为0的节点

节点祖先：从根到该阶段所经过分支上的所有节点，如1为所有节点祖先

子孙：从根到该节点的子树中任意节点都称为该节点的子孙，所有节点为1节点的子孙

森林：由n(n>=0)个不相交的树组成的集合

二、二叉树的节点的存储形式

二叉树的存储通常分为顺序存储和链式存储，顺序存储可以利用栈和队列的特性根据遍历来实现（下面会提到），还有一种就是链式存储，如下图：

链式存储又分为二叉表示方式和三叉表示方式：二叉表示包括着数据域，还有左子域和右子域，左右子域代表着当前节点的左右孩子为根的左右子树。三叉表示比二叉表示多了一条双亲节点域，也就是前驱指针域，来记录着当前节点的根节点。

三、俩种特殊的二叉树

（1）满二叉树

一颗二叉树，每层节点都达到最大值，则可以称这棵树为满二叉树。k层的节点数为2^k - 1。

（2）完全二叉树

完全二叉树就是当每个节点都与高度为k的满二叉树的节点按顺序一一对应。通俗来讲就是最后一层节点数可以不达到最大值，但要按顺序对应起来。

如图就不是一颗完全二叉树。满二叉树也算是一种特殊的完全二叉树。

四、二叉树的性质

（1）在非空二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点。

（2）深度为k的满二叉树的节点数就是深度为k的普通二叉树的最大节点数。

（3）对于一颗二叉树，若叶子节点个数为n0，对于度为2的非叶子节点（n2）则有n0=n2+1。

（4）具有n个节点的完全二叉树深度k为log2（n+1）（向上取整）。

（5）对于n个节点的完全二叉树，若按照层序遍历的方式给节点从0开始编号，对于序列号为i的节点具有以下特点：

i > 0 双亲节点序号为 （i- 1）/2。

若是都存在有左右孩子节点，则有左孩子序号：2i+1 ；右孩子序号：2i+2。

五、二叉树的遍历方式

（1）前序中序后序遍历

前序遍历：遍历规则为访问 根 -> 左-> 右

A-B-D-G-C-E-F

中序遍历：遍历规则为访问 左 -> 根-> 右

G-D-B-A-E-C-F

后续遍历：遍历规则为访问 左 -> 右-> 根

G-D-B-E-F-C-A

二叉树的遍历规则通常是通过递归定义的，前中后序遍历代码实现则为：

依次按照遍历顺序递归即可。

（2）层序遍历

层序遍历是按照从上到下从左到右的顺序来遍历的

A-B-C-D-E-F-G

层序遍历则需要依靠队列来完成：

代码实现：

六、二叉树的基本操作

先定义好节点类型，再定义一个树的根节点root

操作方法

获取树的节点数：

1.可以通过前序遍历的思路来统计树的节点

2.还有一种方法可以让代码更加简洁，可以利用返回值的方法来完成递归统计操作：

代码如下：

获取叶子节点的个数：

1.通过遍历的方法来递归统计叶子节点，结束条件为当前节点为空，统计条件为左右子树都为空。

2.也可以利用返回值来统计叶子节点。

代码实现：

获取第k层的节点数：

利用返回值和层数的层层递减来统计第k层的节点数，结束条件是节点为空，统计条件是k=1的节点不为空。

代码实现：

获取二叉树高度：

通过层层遍历关系决出左右子树的最大高度，再加上自身高度返回。

代码实现：

查找value值是否存在：

这个单纯就是找到返回节点，只需要遍历就行，结束条件不为空即可。