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前言

通过模型算法，熟练对Matlab和python的应用。
学习视频链接：
https://www.bilibili.com/video/BV1EK41187QF/?p=32&vd_source=67471d3a1b4f517b7a7964093e62f7e6

一、动态规划

• 动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种在计算机科学和数学中用于解决复杂问题的优化技术。它通过将问题分解为更小的子问题，存储这些子问题的解以避免重复计算，从而提高算法的效率。动态规划通常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

动态规划的基本步骤

1. 定义状态: 确定一个数组（或其他数据结构）来存储子问题的解。这个数组的每个元素代表一个子问题的解。
2. 状态转移方程: 找到子问题之间的关系，定义一个递归关系（状态转移方程）来表示大问题和小问题之间的关系。
3. 初始化: 确定初始条件，即基础子问题的解。
4. 计算顺序: 通常是自底向上（从子问题到原问题）计算所有子问题的解。

示例1

硬币问题

• 你有三种硬币，分别面值2元、5元和7元的硬币组合起来正好付清，不需要对方找钱，每种硬币都有足够多，买一本书需要27元，如何用最少？

1. 定义状态:

   虽然不知道最优策略是什么，但是最优策略肯定是有 $k$ 枚硬币，$a_1,a_2,\dots a_n$ 加起来面值为27，所以一定存在有最后一枚硬币： $a_k$ 。除了这枚硬币，前面硬币的面值加起来是 $27-a_k$
   
   子问题：

   • 最少用多少枚硬币可以拼出 $27-a_k$
   • 原问题是最少用多少枚硬币可以拼出 27
   • 我们将原问题可以转化成一个规模更小的子问题：$27-a_k$
   • 状态：我们可以设状态 f ( x )＝最少用多少枚硬币拼出 x

2. 状态转移方程:
   

3. 初始化:

   初始条件：$f[0]=0$

4. 计算顺序:

   计算 $f[0],f[1],f[2],...f[x]$

   当计算到 $f[x]$ 时， $f[x-2],f[x-5],f[x-7]$ 都已经算过了。

示例2

背包问题

• 给定 $n$ 个物品，每个物品有一个重量 $w_i$ 和一个价值 $v_i$。给定一个背包的最大承重 $W$，求解如何选择物品放入背包，使得在不超过最大承重的前提下，背包中的物品总价值最大。

1. 定义状态:

   $dp[i][j]$表示前 $i$ 件物品放入容量为 $j$ 的背包中所获得的最大价值

2. 状态转移方程:

   对于第 $i$ 件物品，可以选择放或不放

   如果不放，那么 $dp[i][j]=dp[i-1][j]$
   如果放，那么 $dp[i][j]=dp[i-1][j-w_i]+v_i$

   选择获得最大价值的情况，即 $dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w_i]+v_i)$

3. 初始化:

   初始条件：

   $dp[0][0]=0$，将前 0 个物品放入容量为 0 的背包中能获得的最大价值为 0

   如果容量为 0，则无法放入任何物品，$dp[i][0]=0$

   如果没有物品可选，则无法放入任何物品，$dp[0][j]=0$。

4. 计算顺序:

   从第一个物品开始，求解到 $n$ 最终，$dp[n][W]$ 即为问题的解

三、代码实现----Matlab

1.示例1

clear;clc
n = input('请输入要拼的金额:') + 1;
res = coinChange(n);
disp(['需要' int2str(res) '枚硬币'])

function res =  coinChange(n)
    dp = ones(n,1) * +inf;
    dp(1) = 0;    % 要拼出0块钱，需要0枚硬币
    for i = 2:n
        if (i >= 3)
           dp(i) = min(dp(i),dp(i-2) + 1);           
        end
        if (i >= 6)
           dp(i) = min(dp(i),dp(i-5) + 1); 
        end
        if (i >= 8)
           dp(i) = min(dp(i),dp(i-7) + 1);
        end
    end
    if dp(n) ~= +inf
        res =  dp(n);
    else
        res =  -1;
    end
end

运行结果：

2.示例2

clear;clc
c = input('请输入背包的容量:');
weight = input('请输入每件物品的重量:');
value = input('请输入每件物品的价值:');
res = bag_value(c,weight,value);
disp(['最大价值为:' int2str(res)])

function res = bag_value(c,w,v)   % c是背包容量,w是每件物品的重量,v是每件物品的价值
    n = length(w);  % n代表有多少件物品
    dp = zeros(n+1,c+1);
    for i = 2:n+1     % 第i-1个物品
        for j = 2:c+1   % j-1是容量
            if j-1 < w(i-1)      % 背包容量小于当前物品重量，不能选择当前物品
                dp(i,j) = dp(i-1,j);
            else               % 能选择当前物品，要选择价值更大的方案
                dp(i,j) = max(dp(i-1,j),dp(i-1,j-w(i-1))+v(i-1));
            end
        end
    end
    res = dp(n+1,c+1);
end

运行结果：

四、代码实现----python

1.示例1

# 硬币问题
def coinChange(n):
    dp = [float('inf')] * (n + 1)
    dp[0] = 0    # 要拼出0块钱，需要0枚硬币
    for i in range (1,n + 1):
        if (i >= 2):
            dp[i] = min(dp[i],dp[i-2]+1)
        if (i >= 5):
            dp[i] = min(dp[i],dp[i-5]+1)
        if (i >= 7):
            dp[i] = min(dp[i],dp[i-7]+1)
    if dp[n] != float('inf'):
        return dp[n]
    else:
        return -1
    
n = int(input("请输入要拼的金额:"))
print("要拼的金额", n,"元")
print("需要", coinChange(n),"枚硬币")

运行结果：

2.示例2

# 背包问题
def bag_value(c,w,v):
    n = len(w)
    dp = [[0 for j in range(c + 1)] for i in range(n+1)]   # 初始化动态规划数组
    for i in range(1,n + 1):
        for j in range(1,c+1):  
            if j < w[i-1]:      # 背包容量小于当前物品重量，不能选择当前物品
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:               # 能选择当前物品，要选择价值更大的方案
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
    return dp[n][c]
c = int(input("请输入背包的容量:"))
weight = input("请输入每件物品的重量,用逗号隔开:")
value = input("请输入每件物品的价值,用逗号隔开:")
w = [int(x) for x in weight.split(',')]
v = [int(x) for x in value.split(',')]
print("背包的容量:",c)
print("每件物品的重量:",w)
print("每件物品的价值:",v)
print("最大价值为:",bag_value(c,w,v))

运行结果：

总结

本文介绍了动态规划，并通过典型示例建立模型，分别使用Matlab和python进行代码编写。