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最大化最小角

推论 有点集P是一般点集（没有多点共线，没有4点共圆），那么该点集的delauney三角后的最小角不小于其他非delauney三角化后的最小角。

有序角

为了证明上述推论，先给出一些概念定义。

对于P点集的任意三角化T, A(T) 为所有角的有序数组。

$A(T)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_{3m}),m是三角形个数$

T’为P点集的另一个三角化

$A(T)<A(T^{\prime })当且仅当存在i,使得{\alpha }_i<{\alpha }_i^{\prime }且{\alpha }_j={\alpha }_j^{\prime }(j<i)$

有序角最大

引理 有点集P是一般点集（没有多点共线，没有4点共圆），D*为该点集的delauney三角化，T为任意三角化，则A(T)<=A(D*)

根据lawson flip 算法我们知道，从普通三角化到delauney三角化可以使用flip不满足空圆性的边来实现。

可以从flip对角的影响来证明。

证明：
上图中左边pqrs 四点共圆，根据圆周角定理，所有名称相同的角都是相等的。

右图中名称与左图相同的角意味着角是相等的，上划线代表大于，下划线代表小于。

右图通过虚线的辅助线，可以知道

$\stackrel{—}{{\alpha }_4}>{\alpha }_4,\stackrel{—}{{\alpha }_3}>{\alpha }_3,\underset{—}{{\alpha }_1}<{\alpha }_1,\underset{—}{{\alpha }_2}<{\alpha }_2$

我们列举一下flip前（不满足空圆性）的角：

${\alpha }_1+{\alpha }_2，{\alpha }_3，{\alpha }_4，\underset{—}{{\alpha }_2}，\underset{—}{{\alpha }_1}，\stackrel{—}{{\alpha }_3}+\stackrel{—}{{\alpha }_4}$

flip后的角：

${\alpha }_1,{\alpha }_2，\stackrel{—}{{\alpha }_3},\stackrel{—}{{\alpha }_4},\underset{—}{{\alpha }_2}+{\alpha }_3,\underset{—}{{\alpha }_1}+{\alpha }_4$

可以发现flip后的所有都可以找到flip之前比自己小的角。

$\begin{array}{c}{\alpha }_1>\underset{—}{{\alpha }_1}\\ {\alpha }_2>\underset{—}{{\alpha }_2}\\ \stackrel{—}{{\alpha }_3}>{\alpha }_3,\\ \stackrel{—}{{\alpha }_4}>{\alpha }_4,\\ \underset{—}{{\alpha }_2}+{\alpha }_3>{\alpha }_3\\ \underset{—}{{\alpha }_1}+{\alpha }_4>{\alpha }_4\end{array}$

所以每次有效的flip都会提升最小角。
增大A(T).

引理得证。

根据有序角最大，最小角也是最大的。

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