前置知识：取模运算的特性。
[CSP-J2019 江西] 次大值

[CSP-J2019 江西] 次大值

题目描述

Alice 有 $n$ 个正整数，数字从 $1\sim n$ 编号，分别为 $a_1,a_2,\dots ,a_n$。
Bob 刚学习取模运算，于是便拿这 $n$ 个数进行练习，他写下了所有

$$a_i\mathrm{mod}{a}_j(1\le i,j\le n\wedge i\ne j)$$

的值，其中 $\mathrm{mod}$ 表示取模运算。

Alice 想知道所有的结果中，严格次大值是多少。将取模后得到的所有值进行去重，即相同的结果数值只保留一个，剩余数中第二大的值就称为严格次大值。

输入格式

第一行一个正整数 $n$，表示数字个数。
第二行 $n$ 个正整数表示 $a_i$。

输出格式

仅一行一个整数表示答案。
若取模结果去重后剩余数字不足两个，则输出 $-1$。

输入输出样例

输入 #1

4
4 5 5 6

输出 #1

4

输入 #2

4
1 1 1 1

输出 #2

-1

输入 #3

7
12 3 8 5 7 20 15

输出 #3

12

提示

【数据范围】
对于 $40\%$ 的数据，$1\le n,a_i\le 100$；
对于 $70\%$ 的数据，$1\le n\le 3000$，$1\le a_i\le 10^5$；
对于 $100\%$ 的数据，$3\le n\le 2\times 10^5$，$1\le a_i\le 10^9$。

【样例 $1$ 解释】
所有取模的结果为 { 4 , 4 , 4 , 1 , 0 , 5 , 1 , 0 , 5 , 2 , 1 , 1 } \{4,4,4,1,0,5,1,0,5,2,1,1\} {4,4,4,1,0,5,1,0,5,2,1,1}。
去重后有： { 0 , 1 , 2 , 4 , 5 } \{0,1,2,4,5 \} {0,1,2,4,5}，结果为 $4$。

解法1.暴力枚举(非正解)

1.1.题意分析

    看到这道题，大多数人想到的就是暴力枚举。循环每个i和j,记录余数，最后再排序去重。记得特判后再输出。

能骗到这么多分，就这样交上去吧

1.2.代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 30000010
int main()
{
    int n,a[MAXN],cnt=0,b[MAXN];//用数组b存储每个余数,cnt储存数组b的大小
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)//循环i
        for(int j=1;j<=n;j++)//循环j
            if(i!=j)//如果i不等于j,计算余数
                b[++cnt]=a[i]%a[j];
    sort(b+1,b+cnt+1,greater<int>());//从大到小排序
    cnt=unique(b+1,b+cnt+1)-(b+1);//去重,底下会详细讲解
    if(cnt<2)//无解特判
        printf("-1");
    else
        printf("%d",b[2]);
    return 0;
}

解法2.总结规律(正解)

2.1.题意分析

2.1.1.解题思路

    不行！不能躺平！这道题一定要拿到满分！

    我们知道，取模有两个性质

性质1.对于$a\%b=c(a<b),c=a$
性质2.对于$a\%b=c(a>b),c<a$

利用这两种性质，我们知道，这道题可以分两种情况讨论。

1.$a[i]<a[j]$,即被除数小于除数
2.$a[i]>a[j]$.即被除数大于除数

先看第一种情况：
    对于满足性质1的一组数，只要被除数越大，那么余数就越大。将数组 从大到小排序，那么$a[2](第二大的数)\%a[1](最大的数)$ 就是这组余数的最大值。(注意要求的是严格最大值，所以要先对数组去重)

    同理，这组数的次大值就是$a[3]\%a[1]$。

注意，因为经过了去重和排序，所以保证a[1]>a[2]>a[3]。又因为性质1，保证$a[2]\%a[1]>a[3]\%a[1]$。所以以上推理均为正确的。

再看第二种情况：
    对于满足性质2的一组数，因为除数决定了余数的最大值，所以除数越大越好，这种情况下的次大值就是$a[1]\%a[2]$。

因为$a[1]\%a[2]的最大值是a[2]-1$,而$a[2]\%a[1]的值是a[2]$,所以这种情况下的最大值还是$a[2]\%a[1]$。

接下来就是这两种情况争，谁最大谁就当次大值。

如果看不懂，可以自己尝试制造几组样例代入理解。有的时候这样就是要自己亲身体会才能理解其中的奥妙。

2.2.2.功能拆解

对于排序，使用STL里的sort。
sort(a+1,a+n+1,greater<int>());//从大到小排序，如果不理解可以自己上网搜一下

对于去重，使用STL里的unique。它会自动返回处理好的数组的尾指针。使用时拿它减去头指针就是处理好的数组元素个数。不理解就直接照抄就行了。
n=unique(a+1,a+n+1)-(a+1);//n代表处理好的数组元素个数

2.2.代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,a[200010];
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1,greater<int>());//从大到小排序 
    n=unique(a+1,a+n+1)-(a+1);//去重 
    if(n<2)
	    printf("-1");//去重后的数字小于2个,无解 
	else 
	    printf("%d",max(a[3],a[1]%a[2]));//输出两种情况的最大值 
	return 0;
}