【平衡二叉树】数据结构

【平衡二叉树】数据结构—平衡二叉树

news2024/9/20 20:50:07

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是一种特殊的二叉树，它的左右子树的高度差不超过1，这样可以保证树的高度相对较低，从而使得查找、插入和删除操作的时间复杂度保持在 $O\left ( \log n \right )$ 。

平衡二叉树的基本概念

1. 二叉树：每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
2. 平衡条件：对于每个节点，左子树和右子树的高度差的绝对值不超过1。
3. 高度：树的高度是从根节点到最深叶子节点的最长路径上的边的数量。

AVL树

AVL树是最早的自平衡二叉查找树，由G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis在1962年提出。AVL树通过在每个节点存储一个平衡因子（左子树高度减去右子树高度）来保持平衡。

AVL树的基本操作

1. 插入：插入新节点后，检查树的平衡情况，必要时进行旋转操作以保持平衡。
2. 删除：删除节点后，同样检查树的平衡情况，并进行旋转操作。
3. 旋转：包括左旋、右旋、左右旋和右左旋四种操作，用于调整树的结构。

AVL树的实现

下面是一个简单的AVL树实现，包括插入和旋转操作的示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// AVL树节点结构
typedef struct Node {
    int key;
    int height; // 节点的高度
    struct Node* left;
    struct Node* right;
} Node;

// 获取节点的高度
int height(Node* N) {
    if (N == NULL)
        return 0;
    return N->height;
}

// 获取平衡因子
int getBalance(Node* N) {
    if (N == NULL)
        return 0;
    return height(N->left) - height(N->right);
}

// 创建新节点
Node* newNode(int key) {
    Node* node = (Node*)malloc(sizeof(Node));
    node->key = key;
    node->left = NULL;
    node->right = NULL;
    node->height = 1; // 新节点的高度为1
    return node;
}

// 右旋转
Node* rightRotate(Node* y) {
    Node* x = y->left;
    Node* T2 = x->right;

    // 进行旋转
    x->right = y;
    y->left = T2;

    // 更新高度
    y->height = 1 + (height(y->left) > height(y->right) ? height(y->left) : height(y->right));
    x->height = 1 + (height(x->left) > height(x->right) ? height(x->left) : height(x->right));

    return x; // 返回新的根节点
}

// 左旋转
Node* leftRotate(Node* x) {
    Node* y = x->right;
    Node* T2 = y->left;

    // 进行旋转
    y->left = x;
    x->right = T2;

    // 更新高度
    x->height = 1 + (height(x->left) > height(x->right) ? height(x->left) : height(x->right));
    y->height = 1 + (height(y->left) > height(y->right) ? height(y->left) : height(y->right));

    return y; // 返回新的根节点
}

// 插入节点
Node* insert(Node* node, int key) {
    // 1. 执行常规的BST插入
    if (node == NULL)
        return newNode(key);

    if (key < node->key)
        node->left = insert(node->left, key);
    else if (key > node->key)
        node->right = insert(node->right, key);
    else // 不允许重复的键
        return node;

    // 2. 更新节点的高度
    node->height = 1 + (height(node->left) > height(node->right) ? height(node->left) : height(node->right));

    // 3. 检查平衡性
    int balance = getBalance(node);

    // 如果不平衡，有四种情况

    // 左左情况
    if (balance > 1 && key < node->left->key)
        return rightRotate(node);

    // 右右情况
    if (balance < -1 && key > node->right->key)
        return leftRotate(node);

    // 左右情况
    if (balance > 1 && key > node->left->key) {
        node->left = leftRotate(node->left);
        return rightRotate(node);
    }

    // 右左情况
    if (balance < -1 && key < node->right->key) {
        node->right = rightRotate(node->right);
        return leftRotate(node);
    }

    // 返回（未改变的）节点指针
    return node;
}

// 中序遍历
void inorder(Node* root) {
    if (root != NULL) {
        inorder(root->left);
        printf("%d ", root->key);
        inorder(root->right);
    }
}

int main() {
    Node* root = NULL;

    // 插入节点
    root = insert(root, 10);
    root = insert(root, 20);
    root = insert(root, 30);
    root = insert(root, 40);
    root = insert(root, 50);
    root = insert(root, 25);

    // 中序遍历
    printf("中序遍历AVL树：");
    inorder(root);
    printf("\n");

    return 0;
}

代码说明

1. 节点结构：`Node`结构体包含键值、节点高度和左右子节点的指针。
2. 高度和平衡因子的计算：`height`和`getBalance`函数用于计算节点的高度和获取平衡因子。
3. 旋转操作：`rightRotate`和`leftRotate`函数用于进行树的旋转，以保持平衡。
4. 插入操作：`insert`函数用于插入新节点并保持AVL树的平衡。
5. 中序遍历：`inorder`函数用于遍历树并输出节点的键值。