进制转换

基本定义

十进制：逢十进一(包含数字0~9)

$(365{)}_{10}=3\times 10^2+6\times 10^1+5\times 10^0$

二进制：逢二进一(包含数字0~1)

$(1011{)}_2=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0$

n进制转十进制

我们一般采用按位展开，下面以二进制转十进制为例

二进制转十进制：按位展开 $(1011{)}_2=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0=11$

十进制转n进制

我们一般采用短除法，下面以十进制转二进制为例

十进制数13转化成二进制数

结果为：1101

n进制转m进制

直接转换有公式，但是太麻烦，统一先把m进制数转 换成十进制数，再把十进制数转换成n进制数。(和二转 十，十转二相同)

二进制转4,8,16进制可以快速转换。

如2转8，2³=8,所以每3位二进制可以看做一位8进制。 反过来也是一样

11 110 101 101 从后往前分别为3，6，5，5，位数不足， 最前面补0

小数的进制转换

整数的进制转换会了，那么如果遇到小数的进制转换怎么办呢？其实也很简单。

小数二进制转十进制： 整数部分是$\times$2的…3,2,1,0次方，那么小数部分照旧，按照位数继续乘以2的-1，-2，-3…次方就可以了。 比如0.0101=$1\times2^{{-2}+1\times2}{-4} $

小数十进制转二进制也差不多，以前是/2，现在变成2， 比如0.25转换成二进制。0.252=0.5取整数位0,0.5*2=1， 取整数位1，小数位没有了就不管了，最终的答案就是 0.01。比如0.4转换成二进制就是无限循环形式。

初赛的时候小数转换选择题其实很简单的，因为要显示出来那么肯定不能是无限循环小数。 所以对于2转10，一般都是0.1,0.11之类的，很简单，二 进制的0.2相当于就是十进制的1.0，那么0.1就是0.2的 一般，对应十进制1.0的一半就是0.5. 对于10转2，如果要是有限小数，一般都是0.125,0.25， 0.5之类的，和刚才一样0.25是1的1/4，所以答案就是 0.01。

例题训练（四）

• 【NOIP2000】下列无符号数中，最小的数是（）。

  A．(11011001)₂ B．(75)₁₀ C．(37)₈ D．(2A)₁₆

  答案：C

  题解：要比较不同进制的数的大小，可以将它们转换为十进制数进行比较。在这道题中，我们需要将每个数转换为十进制数，然后比较它们的大小。最小的数是十进制数37，对应的八进制数就是最小的。

• 【NOIP2001普及组】与二进制数101.01011等值的十六进制数为（）。

  A．A.B B．5.51 C. A.51 D. 5.58

  答案：D

  题解：要将二进制数转换为十六进制数，可以先将二进制数转换为十进制数，然后再将十进制数转换为十六进制数。101.01011的十进制等值是5.34375，转换为十六进制数就是5.58。

• 【NOIP2002普及组】（0.5)₁₀=( )₁₆

  A．0.1 B．0.75 C．0.8 D．0.25

  答案：C

  题解：这是一个简单的数制转换题目。将十进制的0.5转换为十六进制数，得到的结果是0.8。

• 【NOIP2002】算式(2047)₁₀ - (3FF)₁₆+(2000)₈的结果是（）。

  A．(2048)₁₀ B．(2049)₁₀ C．(3746)₈ D．(1AF7)16

  答案：A

  题解：这是一个进制间的运算题目。首先将十六进制和八进制数转换为十进制数，然后进行加减法运算。最终结果为十进制数2048。

• 【NOIP2003】十进制数2003等值于二进制数（）。

  A．11111010011 B．10000011 C．110000111 D．010000011

  E．1111010011

  答案：A

  题解：将十进制数2003转换为二进制数，得到的结果是11111010011。

• 【NOIP2004提高组】十进制数100.625等值于二进制数（）。

  A.1001100.101 B.1100100.101 C.1100100.011 D.1001100.11 E.1001100.01

  答案：B

  题解：将十进制数100.625转换为二进制数，得到的结果是1100100.101。