代码随想录 day55动态规划 回文子串

题647 回文子串

动态规划解法：
1，确定dp数组以及下标的含义
对于绝大多数题目来说，题目求什么dp数组就定义为什么，但此题如果定义，dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。
dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。
所以我们要看回文串的性质。 如图：

我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。

那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。

所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。
布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。其实定义为整型用0，1表示也可以。

2，递推公式：
两种情况：s[i] 是否等于s[j]：

• if s[i] == s[j]; 又分为3种：注意不要忽略了第一第二种情况，这两种情况是基础。
  • 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
  • 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
  • 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

3，初始化全部为false，后面再根据遍历结果更新为true。
4，遍历顺序，此题的遍历顺序有讲究，首先从递推公式中可以看出，dp[i][j]是根据dp[i + 1][j - 1]递推出来的， 在 dp[i][j]的左下角，如图：

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

    public int countSubstrings(String s) {
        int[][] dp = new int[s.length()][s.length()];
        int result = 0;
        for(int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
            for(int j = i; j < s.length(); j++) {
                if(s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    //不要忘了这种情况
                    if(j - i <= 1) {
                        dp[i][j] = 1;
                        result++;
                    } else {
                        //索引[i+1, j-1]为回文，则此时[i, j]一定也为回文。
                        if(dp[i + 1][j - 1] == 1) {
                            dp[i][j] = 1;
                            result++;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }

双指针中心扩充算法：
1，最后一定是两种情况：以一个元素为中心扩充，和以两个相邻元素为中心扩充。

    /**
    双指针，中心扩散法。以一个元素为中心，像两边扩散，以两个元素为中心，向两边扩散。
     */
    public int countSubstrings(String s) {
        int result = 0;
        for(int i = 0; i < s.length(); i++) {
            result += extend(s, i, i); //以第i个元素为中心
            result += extend(s, i, i + 1);//以第i和第i+1个元素为中心
        }
        return result;
    }

    int extend(String s, int center1, int center2) {
        int result = 0;
        while(center1 >= 0 && center2 < s.length() && s.charAt(center1) == s.charAt(center2)) {
            result++;
            center1--;
            center2++;
        }
        return result;
    } 

题 516.最长回文子序列

1,确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j].

2,确定递推公式
在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2, 2表示增加了两个元素。

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

3，dp数组如何初始化
首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。
所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。
其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。
所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

class Solution {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        int[][] dp = new int[s.length()][s.length()];
        for(int i = 0; i < s.length(); i++) {
            dp[i][i] = 1;
        }
        for(int i = s.length() - 2; i >= 0; i--) {
            char char1 = s.charAt(i);
            for(int j = i + 1; j < s.length(); j++) {
                char char2 = s.charAt(j);
                if(char1 == char2) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.length() - 1];
    }
}