浅谈简单的搜索算法（c++）

DFS
- 思路
- 实现
- 应用场景
- DFS 的优缺点
- - 优点
  - 缺点
- 例题讲解
- - N皇后问题
  - - [题目描述]
    - 输入
    - 输出
    - 样例输入
    - 样例输出
  - 思路
  - AC代码
  - 排列数字
  - - [题目描述]
    - 输入格式
    - 输出格式
    - 数据范围
    - 输入样例：
    - 输出样例：
    - 思路
    - AC代码
  - 树的重心
  - - [题目描述]
    - 输入格式
    - 输出格式
    - 数据范围
    - 输入样例
    - 输出样例：
    - AC代码
  - [SDOI2013] 直径
  - - 题目描述
    - 输入格式
    - 输出格式
    - 样例 #1
    - - 样例输入 #1
      - 样例输出 #1
    - 提示
    - 思路
    - AC代码
BFS
- 思路
- 实现
- 应用场景
- 特点和优势
- 例题讲解
- - 八数码
  - - [题目描述]
    - 输入格式
    - 输出格式
    - 输入样例：
    - 输出样例
    - 思路
    - AC代码
  - 图中点的层次
  - - [题目描述]
    - 输入格式
    - 输出格式
    - 数据范围
    - 输入样例：
    - 输出样例：
    - AC代码
  - 走迷宫
  - - [题目描述]
    - 输入格式
    - 输出格式
    - 数据范围
    - 输入样例：
    - 输出样例：
    - 思路
    - AC代码

DFS

思路

DFS又称深度优先搜索，算法思路近似于一条道走到黑，不撞南墙不回头，优先沿着一条路径尽可能深地探索下去，直到无法继续或者达到目标状态，然后回溯到上一个未完全探索的节点，继续探索其他分支的算法。拿走迷宫为例，DFS会沿着一条路向下走，如果走到终点，好吧，那就找到了到终点的一条路径，如果走到死胡同，再也没法往前走了，那就后退，回溯，直到走到一个岔路口，继续一条道走到黑……
它通过递归或者使用栈来实现。在递归实现中，函数会不断调用自身，直到达到终止条件。

实现

以下是一个简单的使用递归方式实现 DFS 遍历二叉树的 C++代码示例：

#include <iostream>

// 二叉树节点结构体
struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode* left;
    TreeNode* right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

// DFS 递归函数
void dfs(TreeNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }
    std::cout << root->val << " ";
    dfs(root->left);
    dfs(root->right);
}

int main() {
    // 构建一个简单的二叉树
    TreeNode* root = new TreeNode(1);
    root->left = new TreeNode(2);
    root->right = new TreeNode(3);
    root->left->left = new TreeNode(4);
    root->left->right = new TreeNode(5);

    std::cout << "DFS 遍历结果: ";
    dfs(root);

    return 0;
}

在上述代码中，dfs函数接受一个二叉树的根节点指针。如果节点为空，则直接返回。否则，先输出当前节点的值，然后递归地对左子树和右子树进行 DFS 遍历。

应用场景

DFS 可以用于解决许多问题，例如：
查找图或树中的路径。
例如，在迷宫中找到从起点到终点的路径。
检测图或树的连通性。
确定一个图是否是连通的。
拓扑排序。

DFS 的优缺点

优点

代码实现相对简单，特别是使用递归方式。
对于某些问题，如寻找所有可能的路径，DFS 可能更容易实现。

缺点

可能会陷入深度过大的分支，导致栈溢出。
对于某些问题，可能会出现不必要的深入探索，导致效率低下。

例题讲解

N皇后问题

[题目描述]

在这里插入图片描述

输入

一个整数n（n<=10）

输出

每行一种方案，每种方案输出皇后所在列号，各个数之后有一个空格。若无方案，则输出“no solute!”
输出按字典序输出。

样例输入

样例输出

2 4 1 3
3 1 4 2

思路

逐个考虑放置每一个皇后，如果放置数达标就输出，无法放置就回溯

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=15;
int n,path[N];
char g[N][N];
bool dg[N],col[N],udg[N]; 
void dfs(int u){
	if(u==n){
		for(int i=0;i<n;i++){
			for(int j=0;j<n;j++){
				cout<<g[i][j];
			}
			puts("");
		}
		puts("");
		return ;
	}
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(!col[i]&&!dg[u+i]&&!udg[n-u+i]){
			g[u][i]='Q';
			path[u]=i;
			col[i]=dg[u+i]=udg[n-u+i]=true;
			dfs(u+1);
			col[i]=dg[u+i]=udg[n-u+i]=false;
			g[u][i]='.';
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<n;j++){
			g[i][j]='.';
		} 
	}
	dfs(0);
	return 0;
}

排列数字

[题目描述]

给定一个整数 n，将数字 1∼n 排成一排，将会有很多种排列方法。

现在，请你按照字典序将所有的排列方法输出。

输入格式

共一行，包含一个整数 n。

输出格式

按字典序输出所有排列方案，每个方案占一行。

数据范围

1≤n≤8

输入样例：

输出样例：

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 2

3 2 1

思路

用一个位图来保存当前每一位是否被排列，每次找到第一个未被排列的数字，把它加入排列，注意恢复现场

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<stack>
#include<queue>
#include<deque>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=10;
int n,path[N];
bool st[N];
void dfs(int u){
	if(u==n){
		for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",path[i]);
		puts("");
		return ;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!st[i]){
			path[u]=i;
			st[i]=true;
			dfs(u+1);
			st[i]=false;
			
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	dfs(0);
	return 0;
}

树的重心

[题目描述]

给定一颗树，树中包含 n 个结点（编号 1∼n）和 n−1 条无向边。

请你找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。

重心定义：重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。

输入格式

第一行包含整数 n，表示树的结点数。

接下来 n−1 行，每行包含两个整数 a 和 b，表示点 a 和点 b 之间存在一条边。

输出格式

输出一个整数 m，表示将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。

数据范围

1≤n≤105

输入样例

1 2

1 7

1 4

2 8

2 5

4 3

3 9

4 6

输出样例：

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010,M=N*2;
int n,m;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
int st[N];
int ans=N; 
void add(int a,int b){
	e[idx]=b;
	ne[idx]=h[a];
	h[a]=idx++;
}
int dfs(int u){
	st[u]=true;
	int sum=1,res=0;
	for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){
		int j=e[i];
		if(!st[j]){
			int s=dfs(j);
			res=max(res,s);
			sum+=s;
		}
	}
	res=max(res,n-sum);
	ans=min(ans,res);
	return sum;
}
int main(){
	cin>>n;
	memset(h,-1,sizeof(h));
	for(int i=0;i<n-1;i++){
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		add(a,b);
		add(b,a);
	}
	dfs(1);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

[SDOI2013] 直径

题目描述

小 Q 最近学习了一些图论知识。根据课本，有如下定义。树：无回路且连通的无向图，每条边都有正整数的权值来表示其长度。如果一棵树有 $N$ 个节点，可以证明其有且仅有 $N - 1$ 条边。

路径：一棵树上，任意两个节点之间最多有一条简单路径。我们用 $\text{dis}(a,b)$ 表示点 $a$ 和点 $b$ 的路径上各边长度之和。称 $\text{dis}(a,b)$ 为 $a, b$ 两个节点间的距离。

直径：一棵树上，最长的路径为树的直径。树的直径可能不是唯一的。

现在小 Q 想知道，对于给定的一棵树，其直径的长度是多少，以及有多少条边满足所有的直径都经过该边。

输入格式

第一行包含一个整数 $N$ ，表示节点数。

接下来 $N - 1$ 行，每行三个整数 $a, b, c$ ，表示点 $a$ 和点 $b$ 之间有一条长度为 $c$ 的无向边。

输出格式

共两行。第一行一个整数，表示直径的长度。第二行一个整数，表示被所有直径经过的边的数量。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

1110 
2

提示

【样例说明】

直径共有两条， $3$ 到 $2$ 的路径和 $3$ 到 $6$ 的路径。这两条直径都经过边 $(3, 1)$ 和边 $(1, 4)$ 。

对于 $100\%$ 的测试数据： $2\le N\le 200000$ ，所有点的编号都在 $1\sim N$ 的范围内，边的权值 $\le10^9$ 。

思路

本题在这篇博客中讲过，有一个定理，从树上任意点开始DFS能到达的最远的点一定是直径的端点，再从这个点开始跑大法师即可

AC代码

//P3304 [SDOI2013] 直径
//树的直径
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;
int n,h[200010],e[400010],ne[400010],w[400010],idx,dep[200010],sum[200010],st[200010];
void add(int a,int b,int c){
	e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
int dfs(int u,int fa){
	if(!fa)dep[u]=0;
	int maxn=dep[u],maxi=u;
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
		int j=e[i];
		if(j!=fa){
			dep[j]=dep[u]+w[i];
			int t=dfs(j,u);
			if(dep[t]>maxn)maxn=dep[t],maxi=t;
		}
	}
	return maxi;
}
void dfs2(int u,int fa){
	if(sum[u])return;
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
		int j=e[i];
		if(j!=fa){
			dfs2(j,u);
			sum[u]+=sum[j];
		}
	}
}
signed main(){
	memset(h,-1,sizeof h);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		add(a,b,c),add(b,a,c);
	}
	int ttt=dfs(1,0);
	int t=dfs(ttt,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)if(dep[i]==dep[t])sum[i]=1;
	dfs2(ttt,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)if(sum[i]==sum[ttt])st[i]=1;
	int tt=dfs(t,0),ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dep[i]==dep[tt])sum[i]=1;
		else sum[i]=0;
	}
	dfs2(t,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)if(sum[i]!=sum[t])st[i]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)if(st[i])ans++;
	cout<<dep[tt]<<endl<<ans-1<<endl;
}

BFS

思路

BFS 是一种逐层遍历的算法，它先访问起始节点的所有邻接节点，然后再依次访问这些邻接节点的邻接节点，如此逐层向外扩展。
与深度优先搜索（DFS）不同，BFS 更注重广度上的探索，保证在访问较深层次的节点之前，先访问完当前层次的所有节点。

实现

以下是一个使用队列实现 BFS 遍历二叉树的 C++代码示例：

#include <iostream>
#include <queue>

// 二叉树节点结构体
struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode* left;
    TreeNode* right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

// BFS 函数
void bfs(TreeNode* root) {
    if (root == NULL) {
        return;
    }

    std::queue<TreeNode*> q;
    q.push(root);

    while (!q.empty()) {
        TreeNode* curr = q.front();
        q.pop();

        std::cout << curr->val << " ";

        if (curr->left) {
            q.push(curr->left);
        }
        if (curr->right) {
            q.push(curr->right);
        }
    }
}

int main() {
    // 构建一个简单的二叉树
    TreeNode* root = new TreeNode(1);
    root->left = new TreeNode(2);
    root->right = new TreeNode(3);
    root->left->left = new TreeNode(4);
    root->left->right = new TreeNode(5);

    std::cout << "BFS 遍历结果: ";
    bfs(root);

    return 0;
}

在上述代码中，我们使用一个队列来存储待访问的节点。首先将根节点入队，然后不断取出队首节点进行访问，并将其未访问过的子节点入队，直到队列为空。

应用场景

寻找最短路径
例如在地图中找到从起点到终点的最短路径。
层次遍历问题
如按层次打印二叉树的节点。

特点和优势

能够保证找到的路径是最短的（如果路径长度是基于边的数量）。
对于层次结构明显的问题，BFS 能够更直观地处理。
然而，BFS 也有一些局限性，比如需要更多的存储空间来维护队列。

例题讲解

八数码

[题目描述]

在一个 3×3的网格中，1∼8 这 8 个数字和一个 x 恰好不重不漏地分布在这 3×3 的网格中。

例如：

1 2 3

x 4 6

7 5 8

在游戏过程中，可以把 x 与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。

我们的目的是通过交换，使得网格变为如下排列（称为正确排列）：

1 2 3

4 5 6

7 8 x

例如，示例中图形就可以通过让 x 先后与右、下、右三个方向的数字交换成功得到正确排列。

交换过程如下：

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

x 4 6 4 x 6 4 5 6 4 5 6

7 5 8 7 5 8 7 x 8 7 8 x

现在，给你一个初始网格，请你求出得到正确排列至少需要进行多少次交换。

输入格式

输入占一行，将 3×3 的初始网格描绘出来。

例如，如果初始网格如下所示：

1 2 3

x 4 6

7 5 8

则输入为：1 2 3 x 4 6 7 5 8

输出格式

输出占一行，包含一个整数，表示最少交换次数。

如果不存在解决方案，则输出 −1。

输入样例：

2 3 4 1 5 x 7 6 8

输出样例

思路

我们从初始状态开始搜索，每次尝试把x和他上下左右交换再放入队列，直到搜索到最终结果为止

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int bfs(string start){
	string end="12345678x";
	queue<string>q;
	unordered_map<string,int>d;
	q.push(start);
	d[start]=0;
	int dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,1,0,-1};
	while(q.size()){
		auto t=q.front;
		q.pop();
		int distance=d[t];
		if(t==end)return distance;
		int k=t.find('x');
		int x=k/3,y=k%3;
		for(int i=0;i<4;i++){
			int a=x+dx[i],b=y+dy[i];
			if(a>=0&&a<3&&b>=0&&b<3){
				swap(t[k],t[a*3+b]);
				if(!d.count(t)){
					d[t]=distance+1;
					q.push(d);
				}
				swap(t[k],t[a*3+b]);
			}
		}
	}
	return -1;
}
int main(){
	char str[2];
	string state;
	for(int i=0;i<9;i++){
		char c;
		cin>>c;
		state+=c;
		
	}
	cout<<bfs(state)<<endl;
}

图中点的层次

[题目描述]

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环。

所有边的长度都是 1，点的编号为 1∼n。

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果从 1号点无法走到 n 号点，输出 −1。

输入格式

第一行包含两个整数 n和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 a 和 b，表示存在一条从 a 走到 b 的长度为 1 的边。

输出格式

输出一个整数，表示 1 号点到 n号点的最短距离。

数据范围

1≤n,m≤105

输入样例：

4 5

1 2

2 3

3 4

1 3

1 4

输出样例：

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
vector <int>g[N];
int d[N],n,m;
queue<int>qu;
int  bfs()
{
	 qu.push(1);
	 memset(d,-1,sizeof(d));
	 d[1]=0;
	 while(!qu.empty()){
	 	int t=qu.front();
	 	qu.pop();
	 	for(int i=0;i<g[t].size();i++){
	 		int j=g[t][i];
	 		if(d[j]==-1){
	 			d[j]=d[t]+1;
	 			qu.push(j);
			 }
		 }
	 }
	 return d[n];
}
int main(){
	int i;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(i=1;i<=m;i++){
		int a,b;
		scanf("%d %d",&a,&b);
		g[a].push_back(b); 
	} 
	cout<<bfs()<<endl;
	return 0;
}

走迷宫

[题目描述]

给定一个 n×m 的二维整数数组，用来表示一个迷宫，数组中只包含 0 或 1，其中 0 表示可以走的路，1 表示不可通过的墙壁。

最初，有一个人位于左上角 (1,1) 处，已知该人每次可以向上、下、左、右任意一个方向移动一个位置。

请问，该人从左上角移动至右下角 (n,m) 处，至少需要移动多少次。

数据保证 (1,1) 处和 (n,m) 处的数字为 0，且一定至少存在一条通路。

输入格式

第一行包含两个整数 n和 m。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数（0或 1），表示完整的二维数组迷宫。

输出格式

输出一个整数，表示从左上角移动至右下角的最少移动次数。

数据范围

1≤n,m≤100

输入样例：

5 5

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 0 0 0 0

0 1 1 1 0

0 0 0 1 0

输出样例：

思路

将起点的坐标加进队列里，每次从队列中取出点，遍历上下左右的情况，如果这个点被走过了，不选，是墙，不选，剩下的点加进队列里，用原来的点维护现在节点的访问顺序

AC代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
queue<int> qux;
queue<int> quy;
int main(){
    int a[130][130],mv[4][2]={1,0,0,1,0,-1,-1,0};
    memset(a,1,sizeof(a));
    int n,m,i,j;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);   
        }
    }
    a[1][1]=0;
    qux.push(1);
    quy.push(1);
    while(!qux.empty()){
        int x=qux.front(),y=quy.front();
        qux.pop();
        quy.pop();
        for(int o=0;o<4;o++){
            int x1=x+mv[o][0],y1=y+mv[o][1];
            if(a[x1][y1]==0){
                a[x1][y1]=a[x][y]+1;
                qux.push(x1);
                quy.push(y1);
            }
        }
    }
    if(a[n][m]==195)
    {
        cout<<a[n][m]-1;
    }
    else printf("%d\n",a[n][m]);
     
}