1 前言

网络流是图论算法，阅读本文需要以下前置知识
1搜索算法（dfs+bfs）
2图的存储
3最短路径算法（dijkstra,floyd,spfa）
所有数学公式均使用Latex并附有证明
作为网络流系列的第一张，我们从网络流的基础–最大流开始

2 什么是最大流

我们把网络流这个词拆开来看
网络，指的就是图，在网络流问题中大多为有向图，而且有边权（容量）
流，顾名思义，就是向水一样，从一个水源（源点）流出，流向终点（汇点）
那么会有多少水流向终点呢？这就是流量
这么说肯定不好理解，我们从图的最简单形态–链出发
上图片

可以把源点看做自来水厂，汇点看做你家，中间的点就是中转站，边就是水管，水管当然不是无限大的，肯定会有容量（即边权，图上用蓝色数字标出）
假设你需要$1$个单位的水，自来水厂给你供水，每个水管中流的水量在下图中用绿色标注

显然，每个水管中的水量都小于容量，水管指定炸不了
流量为$1$，即你最后收到了$1$个单位的水
流量可以达到$1$，没有任何一个水管炸掉，这就是可行流
但是这个没啥用…流量为$0$还是可行流呢
我们考虑对于一个所有可行流的集合，求其中流量最大的一个
对于这张图，答案显然了，流量为2，在下图中用橙色标出
可以看到容量为$2$的水管装满水了，不能再多了，这就是最大流

3最大流问题的求解

（1）问题转化–增广路的引入

假设图是一条链，答案肯定为容量最小边的容量，要不然就炸了
但是如果图不是一条链呢
我们把图变成链不就好了
在图上取一条路径，不就形成了链吗
我们还是举上面的例子，自来水厂给你家供水，肯定是选取一条路径将水送到你家，但是如果不够用，自来水厂就会再选取一条路径给你家供水
这就是增广路–一条连接源点和汇点，且流量未满的路径
假设现在已经找到了一条增广路，我们该怎么更新
根据上面的例子，自来水厂把水送到你家，肯定占用了水管，有的水管占满了，但是有的水管还有空间
我们求出增广路的流量–根据刚才链上问题的结论–就是这些边中容量的最小值
我们将路径上每一条边都减去这个占用的容量即可
这就构成了人们常说的残余网络
都减去容量了，我们只要用bfs求出原点到汇点的任意路径即可
如果不连通，算法就结束
这个算法好不好使，手动模拟就知道，请看图片

bfs求出一条增广路为$1->2->3->4$
减去流量得下图

找不出增广路了，答案为$1$
但是显然答案就不是$1$，选取$1->2->4$，$1->3->4$两条增广路，答案显然为$2$，我们的算法就这样炸了

（2）走回头路–EK算法

我们发现，无论怎么选取增广路，我们很难找出一个贪心策略一次得到最优解，选取不同增广路得到的结果不同
如果我们能走回头路多好
但是减去容量是算法成立的基础，我们不能动这一步
所以，我们要引入最大流的精髓–反向边
还是那个例子，自来水厂给你家送水，已经找到一条路径
但是，你说水不够，再给我送点，然而此时水管被占用了
那咋办，你直接把水送回去呗
所以，减去的容量，我们建反向边，把水送回去，就是走回头路
回归问题，我们求出$1->2->3->4$的增广路中，图变成了这样
（反向边用红色标出）

这下，我们可以再次找到一条增广路$1->3->2->4$
得到结果$2$，AC了，那么，这个算法为什么是对的
其中涉及到了边$2->3$，但是如果我们手动模拟，就会发现根本不能取这条边
我们发现$3->2$这条反向边本来就代表着走回头路
但是正常$3->4$这条边已经走过了，既然你替我走了，我就替你走，直接去走路径$2->4$，这就相当于交换了位置，结果不改变
这就是EK算法，最大流问题的基础算法
附代码（c++）（问题参考洛谷P2740）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1145][1145],dist[114514],n,m,start,endd;
queue<int>q;
bool vis[114514];
bool bfs(int s,int t){
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    memset(dist,-1,sizeof(dist));
    vis[s] = true;
    dist[s] = s;
    while(!q.empty()){
    	q.pop();
    }
    q.push(s);
    while(!q.empty()){
        int x = q.front();
        q.pop();
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            if(i!=x&&!vis[i]&&a[x][i]>0){
                q.push(i); 
                dist[i] = x;
                vis[i] = true;
                if(i==t){
                	return true;	
                }
            }
        }
    }
    return false;
}
int EK(int s,int t){
    int ans = 0;
    while(bfs(s,t)){
        int mins = 0x3f3f3f3f;
        for(int i = t;i!=s;i = dist[i]){
        	mins = min(mins,a[dist[i]][i]);
        }
        for(int i = t;i!=s;i = dist[i]){
            a[i][dist[i]]+=mins;
            a[dist[i]][i]-=mins;
        }
        ans+=mins;
    }
    return ans;
}
int main() {
    cin>>n>>m>>start>>endd;
    for(int i = 1;i<=m;i++){
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w; 
        a[u][v]+=w;
    }
    int ans = EK(start,endd);
    cout<<ans;
    return 0;
}

（3）EK的弊端

EK算法是正确的，但是时间复杂度非常玄学
比如说这种图

如果使用EK算法，$2->3$那条边的方向会不断切换，这样下去将会找$200$次增广路
直接TLE
EK算法可以优化，每次处理出最短路径，但是这也没有解决EK慢的问题，尤其是在更加稠密的图，EK的复杂度显然不够优秀
所以，为了解决这种问题，DINIC诞生了

（4）化图为树–DINIC算法

EK一次只能找一条增广路
其实就是把图变成链
如果我们想要从源点出发一次找多条增广路呢？
我们把图变成树，怎么变？
显然，用bfs分层，形成的就是一棵树了
然而进行一次bfs不一定正确
那进行多少次bfs呢？这个就很玄学
每次的残余网络的分层都不相同，所以，可以通过一直进行bfs知道搜索不出增广路
有了搜索树，这就可以引入dfs了，一次搜更多的增广路
不仅提高了稠密图中的时间复杂度，还防止了反复更新增广路的问题
这就是DINIC，在bfs建出的搜索树上跑dfs
代码中的体现就是储存每个点的层次
DINIC还有一个著名的当前弧优化
因为搜索树上有重复点，这些重复点连的边已经更新了的话，就不会再更新，所以我们标记一个$cur$数组即可
其实，在DINIC之外还有ISAP等算法
但是在信奥中有个不成文的规定，不能卡DINIC
新手可以先掌握DINIC
附代码（c++）

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
ll nxt[114514],to[114514],w[114514];
ll idx = 1,head[114514];
ll n,m,s,t;
ll dep[114514],cur[114514];
ll ans = 0;
queue<ll> q;
void addedge(ll u,ll v,ll ww){
	idx++;
	nxt[idx] = head[u];
	to[idx] = v;
	w[idx] = ww;
	head[u] = idx;
}
bool bfs(){
	for(int i = 1;i<=n;i++){
		dep[i] = INF;
	}
	while(!q.empty()){
		q.pop();
	}
	q.push(s);
	dep[s] = 0;
	cur[s] = head[s];
	while(!q.empty()){
		ll x = q.front();
		q.pop();
		for(ll i = head[x];i!=0;i = nxt[i]){
			ll y = to[i];
			if(w[i]>0&&dep[y]==INF){
				q.push(y);
				cur[y] = head[y];
				dep[y] = dep[x]+1;
				if(y==t){
					return true;
				}
			}
		}
	}
	return false;
}
ll dfs(ll x,ll res){
	if(x==t){
		return res;
	}
	ll sum = 0,k,i;
	for(i = cur[x];i&&res;i = nxt[i]){
		cur[x] = i;
		ll y = to[i];
		if(w[i]>0&&(dep[y]==dep[x]+1)){
			k = dfs(y,min(res,w[i]));
			if(!k){
				dep[y] = INF;
			}
			w[i]-=k;
			w[i^1]+=k;
			sum+=k;
			res-=k;
		}
	}
	return sum;
}
void DINIC(){
	while(bfs()){
		ans+=dfs(s,INF);
	}
}
signed main(){
	cin>>n>>m>>s>>t;
	for(ll i = 1;i<=m;i++){
		ll u,v,ww;
		cin>>u>>v>>ww;
		addedge(u,v,ww);
		addedge(v,u,0);
	}
	DINIC();
	cout<<ans;
	return 0;
}

4后记

本蒟蒻的第一篇博客讲的是最短路，如今20篇过去了，这是第21篇
我这个大蒟蒻终于学会了网络流
本文作者是蒟蒻，如有错误请各位神犇指点
森林古猿出品，必属精品，请认准CSDN森林古猿1