原理

在图像处理中，经常需要将图像转化成不同的尺寸，即放大或缩小。
除了直接用resize()函数重新设置图片尺寸，另一种常用的方法就是“图像金字塔”。
图像金字塔是从底层的原始图像开始，通过层层放大叠加而成的金字塔形状的图像集合。
主要有两种图像金字塔：

• 高斯金字塔：常用来生成图片的缩小版本
• 拉普拉斯金字塔：常用来将图片的缩小版本放大

高斯金字塔

用图片来表示高斯金字塔会更形象：

图层越高，图像越小。
图像的编号又下往上依次增大。从下往上数第$i+1$个图层，记为$G_i$;则第$i+2$个图层$G_{i+1}$比$G_i$小。
要生成$G_{i+1}$就要对$G_i$进行如下操作：

1. 用高斯卷积核$K$对$G_i$进行卷积运算；
   $$K=\frac{1}{256}\left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 6& 4& 1\\ 4& 16& 24& 16& 4\\ 6& 24& 36& 24& 6\\ 4& 16& 24& 16& 4\\ 1& 4& 6& 4& 1\end{array}\right]$$
2. 移除所有的偶数行和偶数列
   很显然，最后的结果会变成原来图片的1/4。将这个操作迭代地运用在原图$G_0$上，就会形成上图所示的金字塔。
   其实高斯金字塔方法也可以用来放大图片。只要进行以下操作：
3. 将行和列都扩大到原来的2倍；
4. 将上面的卷积核$K$乘以4之后近似地模拟出填充值来填充扩大出来的行和列

注意：缩小图片实际上丢失了一部分原图的信息。

代码实现

这里使用的图片是OpenCV安装文件中自带的示例图，其路径为："...\opencv\sources\samples\data\chicky_512.png"

放大

在OpenCV中可以pyrUp()函数来进行高斯金字塔中的放大操作。其函数原型如下：

void cv::pyrUp(InputArray	src,
			OutputArray		dst,
			const Size& 	dstsize = size(),
			int				borderType = BORDER_DEFAULT)

第1个和第2个参数不用介绍了，分别是输入矩阵和输出矩阵。
第3个参数为放大后的尺寸，默认为Size(src.cols*2, src.rows*2)，即行和列都放大为原来的2倍。但是如果用户要自定义放大倍数的话，需要满足以下条件：
$$\{\begin{array}{l}|dstsize.width-src.cols\ast 2|\le (dstsize.widthmod2)\\ |dstsize.height-src.rows\ast 2|\le (dstsize.heightmod2)\end{array}$$
乍一看有点复杂，我们来仔细分析一下：
首先看两个不等式的右边，因为图片的宽和高一般都是整数，所以无论是宽还是高，除以2的余数都只有两种情况：0或1。

• 不等式右边为0：说明放大后的图片的宽或高是偶数，且等式左边必须小于等于0；又因为不等式左边为一个绝对值的结果，那么只有一种可能——不等式左边等于0，即$dstsize.width=src.cols\ast 2$或$dstsize.height=src.rows\ast 2$，也就是这个参数的默认情况。
• 不等式右边为1：说明放大的图片的宽或高是奇数，且等式左边必须小于等于1；因为奇数减偶数只能等于奇数，所以等式左边的结果只能为1，即只能是$src.cols\ast 2+1$或者$src.rows\ast 2+1$。

综上所述，第3个参数只能有两种：

1. 宽和高都放大为原来的2倍，即默认情况
2. 宽和高都放大为原来的2倍加1。

为什么有这种限制？答案在最后一节。

第4个参数基本使用默认值，先不用管它。

我们看看宽和高都放大为原来的宽和高的2倍的具体实现：

pyrUp(src,							//原图
	up_dst,							//输出图
	Size(src.cols*2, src.rows*2));	//放大后的尺寸：原图的2*2

一次放大后的效果：

缩小

类似的，可以使用pryDown()函数来缩小图片。这个函数的参数与pryUp()相同，但第3个参数，即缩小后的尺寸的具体条件不一样。
在pryDown()中，第3个参数dstsize默认值为Size((src.cols+1)/2, (src.rows+1)/2)，即原图的宽和高加1的一半。如果用户要自定义缩小尺寸，需要满足以下条件：
$$\{\begin{array}{l}|dstsize.width\ast 2-src.cols|\le 2\\ |dstsize.height\ast 2-src.rows|\le 2\end{array}$$
这也就是说缩小之后的图片的宽和高的2倍不能与原来的宽高相差2以上，即缩小后的图片的尺寸只有这些选择：

1. 原图的宽高的一半，此时不等式左边就是0
2. 原图的宽高加1的一半，即默认情况，不等式左边为1
3. 原图的宽高加2的一半，此时不等式左边为2

为什么有这种限制？答案在最后一节。

第1中情况的具体用法如下：

pryDown(src,							//原图
		down_dst,						//输出图
		Size( src.cols/2, src.rows/2));	//缩小后的尺寸：原图的(1/2)*(1/2)

原图缩小一次的效果如下：

形成金字塔

要形成金字塔不能只进行单次缩放的操作，需要进行迭代。
正是因为要迭代，所以前面才会对pyrUp()和pyrDown()函数的第3个参数有那么严格的限制。如果缩放的尺寸没有限制，那可以1次迭代就放大100或缩小100倍，那很有可能就没有进行第2次迭代的必要了。要形成有意义的金字塔，缩放的比例必须要控制在一个相对较小的范围内，而这两个函数都将比例限制在了2或1/2左右。

如果我们将迭代次数限定为5次，我们可以进行这样的缩小图片的迭代：

#include <opencv2/imgproc.hpp>
#include <opencv2/imgcodecs.hpp>
#include <opencv2/highgui.hpp>

using namespace cv;
using namespace std;

int main() {
	Mat src{ imread("chicky_512.png") };

	//缩小迭代
	String winName{ "缩小" };
	for (int i{ 0 }; i < 5; i++) {
		imshow(winName+to_string(i), src);
		pyrDown(src,
			src,
			Size(src.cols / 2, src.rows / 2));
	}
	waitKey(0);
}

结果如下：