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- 例2
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例1
解下列不定方程：
(
a
)
15
x
+
25
y
=
100
(a)15x+25y=100
(a)15x+25y=100
(
b
)
306
x
−
360
y
=
630
(b)306x-360y=630
(b)306x−360y=630
(a)解:
(15,25)=5，且5|100，所以方程有解。
方程两边同时除以(15,24)，得
3
x
+
5
y
=
20
3x+5y=20
3x+5y=20。
解方程
3
x
+
5
y
=
1
3x+5y=1
3x+5y=1，得x’=2，y’=-1。将其放大20倍，得x’=40，y’=-20。
可得最终方程的解为：
x
=
40
+
5
t
，
y
=
−
20
−
3
t
（
t
=
0
,
−
1
,
1
,
−
2
,
2
,
.
.
.
）
x=40+5t，y=-20-3t（t=0,-1,1,-2,2,...）
x=40+5t，y=−20−3t（t=0,−1,1,−2,2,...）
(b)解：
(306,360)=18，且630|18。所以方程有解。
方程两边同时除以18，得
17
x
−
20
y
=
35
17x-20y=35
17x−20y=35。
由方程
17
x
−
20
y
=
1
17x-20y=1
17x−20y=1可得，x’=-7，y’=-6。扩大35倍，得x’=-245，y’=-210。
最终方程的解为：
x
′
=
−
245
−
20
t
，
y
′
=
−
210
+
17
t
x'=-245-20t，y'=-210+17t
x′=−245−20t，y′=−210+17t
例2
把100分成两份，使得一份可以被7整除，一份可以被11整除。
解：
由题意构造不定方程7x+11y=100，求其正整数解。
由(7,11)=1，得知方程有解。
构造其特解为
x
‘
=
−
300
,
y
′
=
200
x‘=-300,y'=200
x‘=−300,y′=200。于是得其通解为:
x
=
−
300
+
11
t
，
y
=
200
−
7
t
x=-300+11t，y=200-7t
x=−300+11t，y=200−7t
所以可得解为x与y的值为(8,4)。最终分成的两份为
8
∗
7
=
56
,
4
∗
11
=
44
8*7=56,4*11=44
8∗7=56,4∗11=44。
例3
证明：二元一次不定方程
a
x
+
b
y
=
N
,
a
>
0
,
b
>
0
,
(
a
,
b
)
=
1
ax+by=N,a>0,b>0,(a,b)=1
ax+by=N,a>0,b>0,(a,b)=1
的非负整数解为
[
N
/
a
b
]
[N/ab]
[N/ab]或[
N
/
a
b
]
+
1
N/ab]+1
N/ab]+1。
证明：
当N<0时，原方程没有整数解，
N
/
a
b
]
+
1
N/ab]+1
N/ab]+1≤0，故命题正确。
当N=0时，原方程有且只有一个非负整数解(0,0)，故命题正确。
当N>0时，假设二元一次方程ax+by=N的一切整数解为
x
=
x
′
−
b
t
，
y
=
y
′
+
a
t
x=x'-bt，y=y'+at
x=x′−bt，y=y′+at
由
x
≥
0
,
y
≥
0
x≥0,y≥0
x≥0,y≥0，得
t
≤
x
′
/
b
t≤x'/b
t≤x′/b，
t
≥
−
y
′
/
a
t≥-y'/a
t≥−y′/a。
t的区间长度为
L
=
x
′
/
b
+
y
′
/
a
=
(
a
x
′
+
b
y
′
)
/
a
b
=
N
/
a
b
L=x'/b+y'/a=(ax'+by')/ab=N/ab
L=x′/b+y′/a=(ax′+by′)/ab=N/ab
所以在L区间中的整数个数为
[
N
/
a
b
]
[N/ab]
[N/ab]或
[
N
/
a
b
]
+
1
[N/ab]+1
[N/ab]+1。
例4
求出不定方程
x
2
+
3
y
2
=
z
2
x^2+3y^2=z^2
x2+3y2=z2,(x,y)>0,x>0,y>0,z>0的一切正整数解的公式。
解：没看懂，这里放一些截图。
例5
证明
x
4
+
4
y
4
=
z
2
,
x
>
0
,
y
>
0
x^4+4y^4=z^2,x>0,y>0
x4+4y4=z2,x>0,y>0有正整数解。
解：
采用费马下降法解，具体不做介绍。
