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重学 KMP 小记
前言
KMP 这个东西赛时用到的几率很小（虽然圣人说概率不小、也不是很大），但是如果一旦考字符串类的题又极可能考匹配问题。当时掌握得也是一知半解，所以现在来重学来了。
情境引入
现实中我们会遇到类似的问题：
给你一篇报道，让你找一找这篇报道中有没有出现某个人的名字。
形式化地，可以说：
给你文本串 S S S，和模式串 T T T，判断 T T T 是否为 S S S 的子串。
这个问题我们暴力地想，可以用两个指针 i i i， j j j 分别表明现在匹配到 S S S， T T T 的哪个位置了（ 0 ≤ i < l e n S 0\le i< len_S 0≤i<lenS， 0 ≤ j < l e n T 0\leq j<len_T 0≤j<lenT）。如果 S i ≠ T j S_i\neq T_j Si=Tj，则 i ← i − j + 1 i\leftarrow i-j+1 i←i−j+1、 j ← 0 j\leftarrow 0 j←0。相当于是推翻重来。
有没有优美一点的算法呢？答案是有的，就是我们的主角——KMP。
算法概要
我们在暴力的时候，如果一旦失配，模式串的指针 j j j 就又从头开始，这显然是非常浪费的。所以我们如果想降低时间复杂度，就要从这里入手。
首先我们定义一个数组 n e x t i next_i nexti，其满足： S [ 0 , n e x t i − 1 ] = S [ i − n e x t i , i ] S_{[0,next_i-1]}=S_{[i-next_i,i]} S[0,nexti−1]=S[i−nexti,i]。 S [ l , r ] S_{[l,r]} S[l,r] 表示 S l , S l + 1 , … , S r S_l,S_{l+1},\dots,S_{r} Sl,Sl+1,…,Sr 组成的子串。当然这个 n e x t i next_i nexti 有很多种情况，我们储存的是子串最长的情况。说白了这两部分子串就是 S [ 0 , i ] S_{[0,i]} S[0,i] 的最长公共前后缀。
特别地， n e x t 0 = − 1 next_0=-1 next0=−1。
接下来就可以引入 KMP 了，算法流程如下：
- 如果 S i S_i Si 与 T j + 1 T_{j+1} Tj+1 匹配成功，即相同，就 i ← i + 1 i\leftarrow i+1 i←i+1， j ← j + 1 j\leftarrow j+1 j←j+1，继续匹配。
- 如果失配，则令 i i i 不动， j ← n e x t j j\leftarrow next_j j←nextj。这意味着 S S S 不变，将整个 T T T 向右移动了 j − n e x t j j-next_j j−nextj 位。这个值肯定是大于等于 1 1 1 的。
这样就没了。
现在来分析一下这个 KMP 是怎么减少浪费的。
当 T T T 匹配到 j j j 位时，说明前面都是和 S S S 相同的。如果此时失配了，暴力的思想是相当于直接把 T T T 向右平移一位，然后重新比较。这样显然没有前途。KMP 是怎么做的呢？KMP 的思想是：“既然我这个 T [ 0 , j ] T_{[0,j]} T[0,j] 里可能有公共前后缀，如果有的话，为什么我不直接把 T T T 向右平移至这个最长公共前后缀相同的部分呢？”。
画个草图理解一下：
图中蓝色的部分都相同。
如何预处理 n e x t i next_i nexti 数组
考虑递推。现假设 n e x t [ 0 , i − 1 ] next_{[0,i-1]} next[0,i−1] 的元素都已求出。
算法过程就很简单了：
- 如果
str[i]==str[next[i-1]+1]，则next[i]=next[i-1]+1。 - 否则判断
str[i]与str[next[next[i-1]]+1]是否相等。 - 再否则，判断
str[i]与str[next[next[next[i-1]]]+1]是否相等。 - 回环往复，直至相等或 n e x t next next 的值为 0 0 0 为止。
void getnxt()
{
int j=0;
for(int i=2;i<=m;i++)
{
while(j&&b[j+1]!=b[i])
j=nxt[j];
if(b[j+1]==b[i])
j++;
nxt[i]=j;
}
}
例题展现
P3375 【模板】KMP
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=1e6+5;
int n,m;
char a[MAXN];
char b[MAXN];
int nxt[MAXN];
void getnxt()
{
int j=0;
for(int i=2;i<=m;i++)
{
while(j&&b[j+1]!=b[i])
j=nxt[j];
if(b[j+1]==b[i])
j++;
nxt[i]=j;
}
}
void kmp()
{
for(int i=1,j=0;i<=n;i++)
{
while(j&&a[i]!=b[j+1])
j=nxt[j];
if(b[j+1]==a[i])
j++;
if(j==m)
{
printf("%lld\n",i-m+1);
j=nxt[j];
}
}
}
signed main()
{
scanf("%s%s",a+1,b+1);
n=strlen(a+1),m=strlen(b+1);
getnxt();
kmp();
for(int i=1;i<=m;i++)
printf("%lld ",nxt[i]);
return 0;
}
