0. 写在最前面

• 从高能到统计物理模型RG的技术
• 主要参考 大黄猫的量子多体讲义，杨展如
• NRG / DMRG 暂时没有想法，编排不出内容
• 有趣的零碎内容，如 CFT，Z2 Lattice gauge, Fermi field 重整化
• 零碎内容，下篇文章将逐一讲述

1. 重整化 - 标度截断

• 将 相互作用的效果吸收进物理参数当中，重新定义其数值且不改变系统结构
• 在 不同尺度下观测物理系统会得到不一样的物理内容
• 初始动机 是处理量子场论当中圈图发散问题
• d = 4，\phi-4，u的一阶修正项消除 \phi-2 的发散：
  $$\begin{array}{rl}& I_1=\frac{1}{(2\pi {)}^4}{\int }_0^{\Lambda }\frac{d^{4}k}{k^2+r}=\frac{{\pi }^2}{(2\pi {)}^4}({\Lambda }^2-rln(\frac{{\Lambda }^2+r}{r}))\\ & r\to \bar{r}=r+3u{I}_1\\ & f_{GL}(\varphi )=\frac{1}{2}(\nabla \varphi {)}^2+\frac{r-3u{I}_1}{2}{\varphi }^2+\frac{u}{4}{\varphi }^4\end{array}$$
• d = 4，\phi-4，u的二阶修正：
  $$\begin{array}{rl}& I_2=\frac{1}{(2\pi {)}^4}{\int }_0^{\Lambda }\frac{d^{4}k}{(k^2+r{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{(2\pi {)}^4}(ln(\frac{{\Lambda }^2+r}{r})-\frac{{\Lambda }^2}{{\Lambda }^2+r})\\ & u\to \bar{u}=u-9u^2{I}_2\end{array}$$
  再引入发散项，作为 u 的再次修正
  $$\begin{array}{rl}& f_{GL}(\varphi )=\frac{1}{2}(\nabla \varphi {)}^2+\frac{r-3u{I}_1}{2}{\varphi }^2+\frac{u}{4}{\varphi }^4+\frac{1}{4}\frac{9u^2}{16{\pi }^2}ln(\frac{{\Lambda }^2}{r}){\varphi }^4\\ & \underset{\Lambda \to \infty }{\lim }\bar{u}=\underset{\Lambda \to \infty }{\lim }(u^2-9u^2{I}_2+\frac{9u^2}{16{\pi }^2}ln(\frac{{\Lambda }^2}{r}))\end{array}$$
• Gell-Mann-Low RG Equation：
• \Lambda1,\Lambda2不同，理论形式也不同
• 为了联系不同能标下的场论表示，将能标连续化，并提出微分方程组
  $$\begin{array}{rl}& \beta (r)=\frac{dr(\Lambda )}{dln(\Lambda )}\\ & \beta (u)=\frac{du(\Lambda )}{dln(\Lambda )}\end{array}$$
• 这便是 重整化群（RG-Equation）

2. Widom-Kadanoff 粗粒化

3. Wilson 动量空间重整化群

• 专门用于分析临界系统
• 临界行为应该在 高能同低能的视角下表现出相同
• 因此，将场区分开高能-低能自由度并积去高能自由度
• 再将低能有效场论重新标度成高能形式
• 最后将各个物理参数在不同能标下的变换归纳成重整化群方程
• 考虑单分量 Landau 理论
  $$\begin{array}{rl}& Z=\int D[\varphi ]e^{\int d^{d}x{f}_{GL}}\\ & f_{GL}=\frac{1}{2}(\nabla \varphi {)}^2+\frac{r}{2}{\varphi }^2+\frac{u}{4}{\varphi }^4\end{array}$$
• =>（1）\phi-2 理论 （u = 0）
• 1. 区分高低能
  $$\begin{array}{rl}& \varphi ={\int }_0^{\Lambda /b}{e}^{ikx}{\varphi }_k+{\int }_{\Lambda /b}^{\Lambda }{e}^{ikx}{\varphi }_k={\varphi }_{<}+{\varphi }_{>}\\ & f_{GL}=\frac{s}{2}((\nabla {\varphi }_{<}{)}^2+(\nabla {\varphi }_{>}{)}^2)+\frac{r}{2}(({\varphi }_{<}{)}^2+({\varphi }_{>}{)}^2)\end{array}$$
  注意，这里的交错项后续的积分结果为 0 ，因此可以删掉
  $$\int d^{d}x{\varphi }_{<}{\varphi }_{>}=2\pi \delta (k_{>}+k_{<})=0$$
• 2. 积掉高能部分
  $$\begin{array}{rl}& F_{GL}=F_{GL>}+F_{GL<}\\ & Z=\int D[{\varphi }_{<}]e^{F_{GL}<}\int D[{\varphi }_{>}]e^{F_{GL}>}=\int D[{\varphi }_{<}]e^{F_{GL}<}\prod _{k=\Lambda /b}^{\Lambda }\frac{2\pi }{(s{k}^2+r)}\end{array}$$
  可见，高能部分仅仅贡献出常数
• 3. 重标度
  $$\begin{array}{rl}& F_{GL<}={\int }_0^{\Lambda /b}\frac{d^{d}k}{(2\pi {)}^d}(s{k}^2+r)|{\varphi }_{<k}{|}^2,k\to k^{\prime }=bk,r^{\prime }=b^{2}r\\ & F_{GL<}={\int }_0^{\Lambda }\frac{d^d{k}^{\prime }}{(2\pi {)}^d{b}^d}(s\frac{k^{\prime 2}}{b^2}+\frac{r^{\prime 2}}{b^2})|{\varphi }_{<k^{\prime }}^{\prime }{|}^2,{\varphi }_{<k^{\prime }}^{\prime }=b^{-\frac{d+2}{2}}{\varphi }_{<k}\\ & \end{array}$$
• 4. RG-Equation 与标度行为
  $$\begin{array}{rl}& r^{\prime }=b^{2}r=e^{2lnb}r\approx (1+2lnb)r\\ & \beta (r)=\frac{d{r}^{\prime }}{dln(b)}=2r\end{array}$$
  获得不动点 r* = 0，在附近展开 \beta_r
  $$\beta (r)=\beta (r^{\ast })+\frac{\partial \beta }{\partial r}{|}_{r=r^{\ast }}(r-r^{\ast })=2r$$
  进而进行积分，获得标度行为
  $$\begin{array}{rl}\to & {\int }_{r(b=1)=r_0}^{r(b)=\bar{r}}\frac{dr}{r}=2{\int }_{b=0}^{b}dlnb\\ \to & \bar{r}=r_0{b}^2\to \xi \propto (\frac{\bar{r}}{r_0}{)}^{\frac{1}{2}}\propto r_0^{-\frac{1}{2}}\\ \to & r_0=(T-T_c)\to \xi \propto (T-T_c{)}^{-\nu }\end{array}$$
  这里可以获得确切数值，ν = 1/2
  ·
• =>（2）\phi-4 理论 - (4-d) 展开
• 1. 高低能混杂
  $$\begin{array}{rl}& F_{GL}({\varphi }_{<})=\frac{1}{2}(\nabla {\varphi }_{<}{)}^2+\frac{r}{2}({\varphi }_{<}^2)+\frac{u}{4}({\varphi }_{<}^4)\\ & F_{GL}({\varphi }_{>})=\frac{1}{2}(\nabla {\varphi }_{>}{)}^2+\frac{r}{2}({\varphi }_{>}^2)+\frac{u}{4}({\varphi }_{>}^4)+\frac{6u}{4}{\varphi }_{<}^2{\varphi }_{>}^2\\ & Z=\int D[{\varphi }_{<}]e^{-F_{GL}({\varphi }_{<})}\int D[{\varphi }_{>}]e^{-F_{GL}({\varphi }_{>})}\end{array}$$
  因此，重标的思路是：高能部分不再仅是作为一个常数，而是关于低能项的代数式。因此，不能仅针对低能部分的积分，直接确定重标操作。掺杂部分将吸收进低能部分进行额外地重标修正。因此，首要的一步是将含低能项的高能部分给理清。
• 2. ε = (4-d) 展开
  $$\begin{array}{rl}& e^{-F_{GL}({\varphi }_{>})}=e^{-\int d^{d}x\frac{1}{2}(\nabla {\varphi }_{>}{)}^2+\frac{r}{2}({\varphi }_{>}^2)}{e}^{-\int d^{d}x\frac{u}{4}({\varphi }_{>}^4)+\frac{6u}{4}{\varphi }_{<}^2{\varphi }_{>}^2}\\ =& e^{-\int d^{d}x\frac{1}{2}(\nabla {\varphi }_{>}{)}^2+\frac{r}{2}({\varphi }_{>}^2)}\times (1-\int d^{d}x(\frac{u}{4}({\varphi }_{>}^4)+\frac{6u}{4}{\varphi }_{<}^2{\varphi }_{>}^2)\\ & +\frac{1}{2!}(-\int d^{d}x(\frac{u}{4}({\varphi }_{>}^4)+\frac{6u}{4}{\varphi }_{<}^2{\varphi }_{>}^2))(-\int d^{d}y(\frac{u}{4}({\varphi }_{>}^4)+\frac{6u}{4}{\varphi }_{<}^2{\varphi }_{>}^2))+....)\\ & \\ =& e^{-\int d^{d}x\frac{1}{2}(\nabla {\varphi }_{>}{)}^2+\frac{r}{2}({\varphi }_{>}^2)}\times (1+O(u)+O(u^2)+O(u^3)+...)\end{array}$$
  需要被单独指出的一个结构，【 Intergrate out 】~ 用期望表示将积分的积分式里的某一自由度单独积出
  $$Z_{O(u)}=\int D[{\varphi }_{>}]e^{-\int d^{d}x\frac{1}{2}(\nabla {\varphi }_{>}{)}^2+\frac{r}{2}({\varphi }_{>}^2)}(-\int d^{d}x\frac{u}{4}{\varphi }_{>}^4-\int d^{d}x\frac{6u}{4}{\varphi }_{<}^2{\varphi }_{>}^2)$$

• 保留至 O(u)：
  事实上，O(u)中，第一项不含低能部分，出于对参数的修正效果考虑将其忽略，对 第二项高能部分的积分，由 Z0 <\phi^2_>0 表示，并转换成动量空间的积分 【k1,k2 for \phi<】,【k3,k4 for \phi_>】。重新指数化是什么意思？
  $$\begin{array}{rl}& O(u^1{)}^1:-\int d^{d}x\frac{u}{4}6{\varphi }_{<}^2(Z_0{⟨{\varphi }_{>}^2⟩}_0)\\ & =Z_0\int \frac{d^d{k}_1}{(2\pi {)}^d}\frac{d^d{k}_2}{(2\pi {)}^d}\frac{d^d{k}_3}{(2\pi {)}^d}\frac{d^d{k}_4}{(2\pi {)}^d}\frac{-u}{4}6\int d^{d}x{e}^{i(k_1+k_2)x}{e}^{i(k_3+k_4)x}{\varphi }_{<}(k_1){\varphi }_{<}(k_2){⟨{\varphi }_{>}(k_3){\varphi }_{>}(k_4)⟩}_0\\ & =Z_0\int \frac{d^d{k}_1}{(2\pi {)}^d}(\frac{-u}{4}6{\int }_{\Lambda /b}^{\Lambda }\frac{d^d{k}_3}{(2\pi {)}^d}\frac{1}{k_3^2+r}){\varphi }_{<}(k_1){\varphi }_{<}(-k_1)\\ & \to \\ & O(u^1{)}^1+...\frac{1}{N!}O(u^1{)}^N:\\ & =Z_{0}exp(\int \frac{d^d{k}_1}{(2\pi {)}^d}(\frac{-u}{4}6{\int }_{\Lambda /b}^{\Lambda }\frac{d^d{k}_3}{(2\pi {)}^d}\frac{1}{k_3^2+r})|{\varphi }_{<}(k_1){|}^2)\end{array}$$

• 因此，重新带入 \phi_2 项，整理成对 r/2 的修正
  $$\bar{r}=r+\frac{u}{4}12{\int }_{\Lambda /b}^{\Lambda }\frac{d^d{k}^{\prime }}{(2\pi {)}^d}\frac{1}{k^{\prime 2}+r}$$

  同理，对二阶项的【 Intergrate out 】 ~ 仍仅需考虑两个第二项的重积分
  $$\frac{Z_0}{2}\int d^{d}x{⟨\frac{6u}{4}{\varphi }_{<}^2(x){\varphi }_{>}^2(x)\int d^{d}y\frac{6u}{4}{\varphi }_{<}^2(y){\varphi }_{>}^2(y)⟩}_0$$

• 保留至 O(u^2)：
  $$\begin{array}{rl}& O(u^2):\frac{Z_0}{2}\int d^{d}x{⟨\frac{6u}{4}{\varphi }_{<}^2(x){\varphi }_{>}^2(x)\int d^{d}y\frac{6u}{4}{\varphi }_{<}^2(y){\varphi }_{>}^2(y)⟩}_0\\ & =\frac{Z_0}{2}\int d^{d}x{d}^{d}y{⟨{\varphi }^2(x{)}_{>}{\varphi }^2(y{)}_{>}⟩}_0{\varphi }^2(x{)}_{<}{\varphi }^2(y{)}_{<}\\ & =Z_0\int d^{d}x\frac{36u^2}{4^2}\int \frac{d^d{k}_1}{(2\pi {)}^d}\frac{d^d{k}_2}{(2\pi {)}^d}\frac{d^d{k}_1^{\prime }}{(2\pi {)}^d}\frac{d^d{k}_2^{\prime }}{(2\pi {)}^d}{e}^{i(k_1+k_2+k_1^{\prime }+k_2^{\prime })x}\varphi (k_1)\varphi (k_2)\varphi (k_1^{\prime })\varphi (k_2^{\prime })\int \frac{d^d{k}^{\prime }}{(2\pi {)}^d}\frac{1}{(k^{\prime 2}+r{)}^2}\\ & =Z_0\int \frac{d^d{k}_1}{(2\pi {)}^d}\int \frac{d^d{k}_2}{(2\pi {)}^d}(\frac{36u^2}{4^2}{\int }_{\Lambda /b}^{\Lambda }\frac{d^d{k}^{\prime }}{(2\pi {)}^d}\frac{1}{(k^{\prime 2}+r{)}^2})|{\varphi }_{<}(k_1){\varphi }_{<}(k_2){|}^2\end{array}$$

• 因此，重新代入 \phi_4 项，整理成对 u/4 的修正
  $$\bar{u}=u-\frac{u^2}{4}36{\int }_{\Lambda /b}^{\Lambda }\frac{d^d{k}^{\prime }}{(2\pi {)}^d}\frac{1}{(k^{\prime 2}+r{)}^2}$$

• 3. 重定义，重标度
  我们先关注低能部分的重标度&
  $$\begin{array}{rl}& F_{GL}({\varphi }_{<})=\int \frac{d^{d}k}{(2\pi {)}^d}(\frac{k^2}{2}+\frac{r}{2})|{\varphi }_{<k}{|}^2\\ & +\frac{u}{4}\int \frac{d^d{k}_1}{(2\pi {)}^d}\int \frac{d^d{k}_2}{(2\pi {)}^d}\int \frac{d^d{k}_3}{(2\pi {)}^d}\int \frac{d^d{k}_4}{(2\pi {)}^d}\\ & ‘\int d^{d}x{e}^{i(k_1+k_2+k_3+k_4)x}{\varphi }_{<}(k_1){\varphi }_{<}(k_2){\varphi }_{<}(k_3){\varphi }_{<}(k_4)\end{array}$$
  不难发现u=0时，k, x, r, ϕ 等量的重标关系，并且将其推至 u
  ​$$\begin{array}{rl}& k^{\prime }=bk,x^{\prime }=x/b,r^{\prime }=b^{2}r,\\ & {\varphi }^{\prime }=b^{-\frac{b+2}{2}}\varphi \\ & \to u^{\prime }=b^{4-d}u\end{array}$$
  同时，计入上面高能自由度对低能参数的修正，我们获得 r, u 的重定义；并给出其在低能框架下的重标
  $$\begin{array}{rl}& \bar{r}=r+\frac{u}{4}12{\int }_{\Lambda /b}^{\Lambda }\frac{d^d{k}^{\prime }}{(2\pi {)}^d}\frac{1}{k^{\prime 2}+r}\\ & r^{\prime }=b^2\bar{r}\\ & \bar{u}=u-\frac{u^2}{4}36{\int }_{\Lambda /b}^{\Lambda }\frac{d^d{k}^{\prime }}{(2\pi {)}^d}\frac{1}{(k^{\prime 2}+r{)}^2}\\ & u^{\prime }=b^{4-d}\bar{u}\end{array}$$
  对于大动量截断，r~0 (查书)
  ··········

  观察 r 的结构，这会导致 r 因为粗略近似，太大效果的零点漂移，并不能出现合理的不动点形式
  对该复杂积分，我们需要在 r 处进行更加细致的逼近。在不动点附近展开，因而要扔掉 r,u 的独立零点项（查书）
  ~~ ~~ ~~

• 4. RG - Equation 与标度行为
  对于 \phi-4 model 的 不动点，两组解，分别是 Gauss 不动点，Wilson - Fisher不动点
  $$\begin{array}{rl}& r^{\prime }=b^{2}r(1-3\bar{u}ln(b))\\ & \hat{u}=b^{4-d}\hat{u}(1-9\hat{u}ln(b))\\ & \to \\ & \beta (r)=(2-3\hat{u})r\\ & \beta (\hat{u})=(ϵ-9\hat{u})\hat{u};ϵ=4-d\end{array}$$

• Gauss’s
  $$\begin{array}{rl}& r^{\ast }=0；{\hat{u}}^{\ast }=0\\ & \to \\ & \beta (r)\approx (2-3{\hat{u}}^{\ast })(r-r^{\ast })+(-3r^{\ast })(\hat{u}-{\hat{u}}^{\ast })=2r>0\\ & \beta (\hat{u})\approx (ϵ-9\hat{u})\hat{u}=ϵ\hat{u}\end{array}$$

• d > 4： 物理上的相变点

• d < 4： 非物理点（两端远离）

• Fisher’s
  $$\begin{array}{rl}& r^{\ast }=0；{\hat{u}}^{\ast }=ϵ/9\\ & \to \\ & \beta (r)=(2-ϵ/3)r\\ & \beta (\hat{u})=(\hat{u}-ϵ/9)(-ϵ)\end{array}$$

• d > 4：非物理店（两端远离）

• d < 4：物理上的相变点

• 临界指数：
  $$\frac{\bar{r}}{r_0}\propto {\xi }^{2-ϵ/3}\to \xi \propto r_0^{-\frac{1}{2-ϵ/3}};\nu =\frac{1}{2-ϵ/3}$$

4. KT 相图，O(3) 相图

• O(3) - 非线性Sigma model
• XY model - KT 相变