1. 概述

前面介绍到了多种插值方法，但是这些插值方法都无法避免龙格现象，即高阶多项式可能存在剧烈的振动，而且在区间的一个点处的微小扰动，都可能引起整个范围内的巨大振动，一种替代方式是使用类似线性插值的方式，将区间分成多个子区间，然后在每个子区间上构造不同的多项式来逼近，这种方式就是分段多项式。

但是，线性插值的表现会存在一个显著的现象就是插值点处一阶导不存在，在曲线上表现出来的是尖点，如果使用分段的Hermite多项式，虽然可以保证可导性，但是导数值有时并不是可以预先获取的。

最后，一个普遍的分段多项式是在使用三次多项式，即所谓的三次样条（Cubic Spline）插值。样条，英语为Spline，是Sample line的含义，意思是指通过一组给定点集来生成平滑曲线的柔性带。此概念源于生产实践，“样条”是绘制曲线的一种绘图工具，是富有弹性的细长条。绘图时用压铁使样条通过指定的形值点（样点），并调整样条使它具有满意的形状，然后沿样条画出曲线。

最初，样条曲线都是借助于物理样条得到的，放样员把富有弹性的细木条（或有机玻璃条），用压铁固定在曲线应该通过的给定型值点处，样条做自然弯曲所绘制出来的曲线就是样条曲线。样条曲线不仅通过各有序型值点，并且在各型值点处的一阶和二阶导数连续，也即该曲线具有连续的、曲率变化均匀的特点，但是需要注意的是，三次样条曲线并不能像Hermite多项式那样，在给定点处与被插函数具有相同的导函数值。

2. 数学知识

一个三次多项式具有的形式，那么问题的重点就是确定系数。对于给定区间上的函数和一组插值点，的一个三次样条插值多项式应满足如下条件：

1. 对于，是子区间上的一个三次多项式，记作
2. 对于，且 
3. 对于，
4. 对于，
5. 对于，

由于我们将区间分为了n段，然后每段上需要确定多项式的系数，因此一共要计算个常数。由条件2和3，每个子区间上首位函数值，可以构造个方程，由条件4和5各可以构造个方程，总共可以构造个方程，方程数量少于未知数数量（），因此还缺少条件，不能完全求解。为了构造可求解的方程组，需要补充边界条件，通常是两个端点处的导数值，一般分为三种情况：

1. 紧固（Clamped）三次样条曲线：端点处的一阶导数值为给定值，即，也叫做夹持三次样条曲线，这种情况相当于是在两个端点也增加了约束；

2. 自然（Natural）三次样条曲线：端点处的二阶导数值为0，，也叫自由三次样条曲线，这种情况相当于两个端点被放开，没有约束；

3. 非扭结（Not-a-knot）三次样条曲线：起始2个点和结尾两个点的三阶导数值相同，，这表明最开始两个子区间和最后的两个子区间，其多项式相同，因此，上是同一个三次多项式，上也是同一个三次多项式，实际上是可有可无的，也就是说，它们起不到扭结点的作用了，所以被称作not-a-knot样条曲线，这种是方式是一般在无法获取端点处导数值时比较好的一种选择。

此外，由于紧固样条曲线使用到了更多被查函数的信息，因此拟合的效果会比自然三次样条曲线更好一些。

3. 公式推导

3.1 紧固三次样条曲线

如果用表示各区间的步长，则，且显然有，但需要注意，最后所求的曲线方程为:

可以得到紧固三次样条曲线的方程为：

其中：

由于以上方程是严格对角占优的，因此一定存在解，所求就是待求系数中的值，再使用：

可计算。

最后可以通过：

计算出。

3.2 自然三次样条曲线

对于自然三次样条曲线，其计算过程相同，但是方程需要有所调整，即A与b的第一行和最后一行，调整如下：

 3.3 非扭结三次样条曲线

根据前面的定义，方程变为：

4. 总结

三种不同三次样条曲线的边界条件，如下：