1.01背包理论基础

题目链接：01背包理论基础
文档讲解： 代码随想录

01背包：
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。它的暴力解法，每个物品的状态只有两个，取或者不取，可以使用回溯法搜索出所有情况，时间复杂度为 $o(2^n)$。

动规五部曲：
（1）确定数组和下标含义
dp[ i ][ j ]表示从下标0~i的物品里任意取，放进容量为 j 的背包，价值总和最大值
（2）确定递推关系式
可以从两个角度进行分析，对于dp[ i ][ j ]，可以放入物品 i，也可以不放。不放物品 i，由dp[ i-1 ][ j ]。放入物品 i，由dp[ i-1 ][ j - weight[i]] + value[ i ]。因此递推公式为dp[ i ][ j ] = max（dp[ i-1 ][ j ]，dp[ i-1 ][ j - weight[i]] + value[ i ]）。
（3）初始化
从递推关系式出发，dp[0][ j ]需要赋值，放入物品 0 时，各种背包容量的价值总和，其中当背包容量小于weight[0]时，不放入物品，价值为0，反之为value[0]。当背包容量为0时，放不进任何物品，则dp[ i ][0] = 0。
（4）遍历顺序
观察递推关系式，dp[ i ][ j ]主要由dp[ i-1 ][ j ]和dp[ i-1 ][ j - weight[i]]求到，只要上方和左上方有值就可以，因此两层循环遍历背包和物品的顺序无论先后，都可以得到答案。
（5）打印数组

M, N = [int(x) for x in input().split()]
space = [int(x) for x in input().split()]
value = [int(x) for x in input().split()]

#任取0~i的物品放入背包容量j的最大价值，i行j列
dp = [[0] * (N + 1) for _ in range(M)] 

#初始化
for j in range(space[0], N + 1):
    dp[0][j] = value[0]

#遍历
for i in range(1, M):
    for j in range(1,N + 1):
        if j >= space[i]:
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - space[i]] + value[i])
        else:
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]

print(dp[M - 1][N])

2.01背包理论基础（滚动数组）

题目链接：01背包理论基础
文档讲解： 代码随想录

（1）确定数组和下标的含义
dp[ j ]表示背包容量为 j 时物品的最大价值
（2）递推关系式
二维数组的递推关系完全可以将dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，因此，递推关系式为dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
（3）初始化
一定要和dp数组的定义吻合，dp[0] = 0，因为递推关系式是取最大值，因此其余位置可以初始化为0
（4）遍历顺序
两层循环，一个 i，一个 j。但 j 是从后往前，因为如果从前往后，物品0会被重复加入多次。二维数组dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来，本层的dp[i][j]并不会被覆盖！二维数组循环遍历的时候，背包和物品的顺序可以对调，但是在一维数组中，不可以换，因为一旦先遍历背包，背包是倒序遍历的，这样子每个dp[j]就只会放入一个物品。
（5）打印数组

kind, bagspace = [int(x) for x in input().split()]
space = [int(x) for x in input().split()]
value = [int(x) for x in input().split()]

#新建dp数组，初始化为0
dp = [0] * (bagspace + 1)

for i in range(kind):
    for j in range(bagspace, space[i] - 1, -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - space[i]] + value[i])

print(dp[bagspace])

3.416. 分割等和子集

题目链接：416. 分割等和子集
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如果可以分割为两个子集数值和相等，那么就可以抽象为背包问题，背包容量为该数组值总和的一半，问是否存在元素将其装满。这是一个01背包问题，因为其中每个数字只能用一次。同时，需要注意的是，每个元素的重量和价值均为元素的数值。
（1）确定dp数组和下标
dp[ j ]表示容量 j 的背包可以装下的最大重量
（2）递推关系式
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
（3）初始化
从定义来看，dp[0] = 0，因为是取最大值，为了在取值时不被初始值覆盖，因此选择非负的最小值0，来初始化其余下标不为0的元素
（4）遍历顺序
采用一维数组，因此 i 从前往后遍历数组元素， j 从后往前遍历背包容量
（5）打印数组

class Solution(object):
    def canPartition(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: bool
        """
        kind = len(nums)
        summ = sum(nums)
        if summ % 2 == 1:
            return False
        else:
            bagweight = summ / 2
        
        dp = [0] * (bagweight + 1)
        for i in range(kind):
            for j in range(bagweight, nums[i] - 1, -1):
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
        
        if dp[bagweight] == bagweight:
            return True
        else:
            return False

class Solution(object):
    def canPartition(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: bool
        """
        #精简版
        if sum(nums) % 2 != 0:
            return False
        target = sum(nums) / 2
        dp = [0] * (target + 1)
        for num in nums:
            for j in range(target, num - 1, -1):
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - num] + num)
        if dp[target] ==target:
            return True
        return False