图
顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合
G(V,E)，G：图，V：顶点集合，E：边的集合
顶点：图中的数据元素，有穷，非空
边：顶点之间的逻辑关系，边集合可以是空的
多对多：任意两个顶点之间都有可能有关系
无向边：顶点之间的边没有方向，无序偶对表示(vi,vj)
无向图：图中任意两个顶点之间的边都是无向边
无向完全图：任意两个顶点之间都存在边，n个顶点，n*(n-1)/2条边
有向边（弧）：顶点之间的边有方向，有序偶对表示<vi,vj>
弧尾：vi，弧头：vj，vi->vj不可逆序
有向图：任意两个顶点之间的边都是有向边
有向完全图：任意两个顶点之间都存在方向互为相反的弧，n个顶点，n*(n-1)条边
简单图：不存在顶点到其自身的边，同一条边不重复出现
稀疏图：很少条边或弧的图
稠密图
权：图的边或弧相关的数
网：带权图
子图：假设有两个图 G=(V,{E})和 G’=(V’,{E’})，如果 V’是V真子集 且 E’是E的真子集，则称 G’为G的子图(Subgraph)
顶点和边的关系
1、 无向图：
邻接点：两点相连组成的边在图中，两点互为邻接点
边(v,v’)依附于顶点v,v’
边(v,v’)与顶点v,v’相关联
顶点的度：和顶点关联的边的数目，TD(v)
图的边数=各顶点度数之和/2
2、有向图：
<v,v’>属于图时，v邻接到v’，v’邻接自v
弧<v,v’>和顶点v,v’相关联
出度：以顶点为尾的弧的数目，OD(v)
入度：以顶点为头的弧的数目，ID(v)
顶点的度：TD(v)=ID(v)+OD(v)
图的边数=入度和=出度和
顶点v到顶点v’的路径：顶点序列，经过的每条边都是图内的边，不唯一
有向图路径也有方向
路径长度：路径上的边数或弧数
简单路径：路径中顶点不重复出现
回路（环）：第一个顶点到最后一个相同顶点的路径
简单回路（环）：除了第一个和最后一个顶点，其余顶点不重复
连通：顶点间有路径
连通图：任意顶点间都有路径
连通分量：连通子图，含有极大顶点数，包含依附子图顶点的所有边
强连通图：有向连通图，每个顶点间都存在路径
强连通分量：极大连通子图
连通图的生成树：
生成树：极小连通子图，含有图中全部的n个顶点，连接n个顶点的n-1条边
有向树：有向图的一个顶点入度为0（根节点），其余顶点入度为1
一个有向图的生成森林：若干棵有向树，含有图中全部顶点，只有构成树的弧
抽象数据定义
ADT 图(Graph)
Data
顶点的有穷非空集合和边的集合。
Operation
CreateGraph(*G, V,VR); // 按照顶点集V和边弧集VR的定义构造图G。
DestroyGraph(*G); // 图G存在则销毁。
LocateVex(G, u); // 若图G中存在顶点u，则返回图中的位置。
GetVex(G, v); // 返回图G中顶点v的值。
PutVex(G, v, value); // 将图G中顶点v赋值value。
FirstAdjVex(G, *v); // 返回顶点v的一个邻接顶点，若顶点在G中无邻接顶点返回空
NextAdjVex(G, v, *w); // 返回顶点v相对于顶点w的下一个邻接顶点，若w是v的最后 一个邻接点则返回“空
InsertVex(*G, v); // 在图G中增添新顶点v。
DeleteVex(*G, v); // 删除图G中顶点v及其相关的弧。
InsertArc(*G, v, w); // 在图G中增添弧<v, W>，若G是无向图，还需要增添对称弧<w, v>。
DeleteArc(*G, v, w); // 在图G中删除弧<v, w>，若G是无向图，则还删除对称弧 o
DFSTraverse(G); // 对图G中进行深度优先遍历，在遍历过程对每个顶点调用。
HFSTraverse(G); // 对图G中进行广度优先遍历，在遍历过程对每个顶点调用。
endADT
存储结构
任意2顶点都可能存在联系，物理位置不可用
度数相差很大时，多重链表不可用
邻接矩阵
一维数组存n个顶点
邻接矩阵：n*n的二维数组存边/弧
对称矩阵：n阶矩阵中a[i][j]=a[j][i]
信息：
判定两顶点之间有无边，a[i][j]==1？
顶点的度，某行1的个数
某顶点的所有邻接点，某行1的列下标
适合稠密图，读存数据多，结构修改少
array[i][j]=1；顶点i到顶点j的边存在，
array[i][j]=0；不存在
网图：边上带有权
array[i][j]=Wij;（顶点i到顶点j的边存在且权值为Wij）
array[i][j]=0；(i=j)
array[i][j]=不可能的极限值；(其他情况)
创建时间复杂度O(n+n2+e)，其中矩阵初始化O(n2)
对于边数很少的图浪费空间
邻接表
一维数组存顶点，和单链表头指针
单链表，每个顶点的所有邻接点构成一个线性表，在无向图中顶点vi的边表，在有向图中vi作为弧尾的出边表
逆邻接表：以vi作为弧头的表
信息：
顶点的边表中结点的个数=顶点的度
顶点之间有无边、弧：边表中有无结点
顶点的所有邻接点
有向图的出度、入度
网图，增加weight数据域，存储权值信息
创建时间复杂度O(n+e)
十字链表
邻接表，有向图，出度入度不可共存
邻接表和逆邻接表结合
顶点表：
data数据
firstin：入边表头指针
firstout：出边表头指针
边表结构
tailvex：弧起点在顶点表的下标
headvex：弧终点在顶点表的下标
headlink：指向终点相同的下一条边
taillink：指向起点相同的下一条边
邻接多重表
邻接表，无向图删除结点复杂
ivex、jvex：某条边的两个顶点下标
ilink：依附顶点ivex的下一条边
jlink：依附顶点jvex的下一条边
边集数组
两个一维数组，存储顶点信息，存储边的信息
边数组的数据元素：起点下标begin，终点下标end，权weight
适合对边的操作
遍历
从图中某一顶点出发访问图中其余所有顶点，且每个顶点只访问一次
访问数组 visited[n]，n个顶点，访问过的顶点打上标记，初值0，访问过1
深度优先类似树的前序遍历
广度优先类似树的层序遍历
深度优先搜索DFS
递归+回溯
从图中的某个顶点v出发，访问此结点，从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历，直到所有和v有路径相通的顶点全部被访问
非连通图，一次深度优先后，若图中有顶点未被访问，选图中一个未曾被访问的顶点做起始点
n个顶点，e条边的图
邻接矩阵是二维数组，找邻接点O(n2)
邻接表，找邻接点O(n+e)
广度优先搜索BFS
结点A入队，A所有的邻接点入队，A出队
时间复杂度相同
最小生成树
网：带权值的图
最小成本：n个顶点，n-1条边，连接成连通图，权值的和最小
最小生成树：连通网的最小代价生成树
普里姆Prim算法
假设 N=(P，{E})是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。
算法：
初始状态：U={u0}(u0∈V)，TE={}
循环：在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E找一条代价最小的边(u0,v0)并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。
此时 TE中必有 n-1条边，则T=(V，{TE})为N的最小生成树。
以某顶点为起点，找顶点上最小权值的边
时间复杂度 O(n2)，适合稠密图
克鲁斯卡尔Kruskal算法
假设 N=(V,{E})是连通网，
初始状态：只有n个顶点而无边的非连通图 T={V,}，图中每个顶点自成一个连通分量。
循环：在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。
取图边集内权值最小的边，判断有无环
时间复杂度 O(eloge)，适合稀疏图
当(i, j) 加入最小生成树时parent[i] = j
当parent[i] > 0 说明有(i, j) 存在，i=j，直到parent[i]<=0
最短路径
最短路径：两顶点之间经过的边权值之和最少的路径
源点：路径上的第一个顶点
终点：路径上的最后一个顶点
迪杰斯特拉Dijkstra算法
某一顶点到其他所有顶点
求出顶点的最短路径，基于已经求出的最短路径基础上，求的更远顶点的最短路径
时间复杂度O(n2)
任意顶点到其他所有顶点的最短路径，对每个顶点做一次Dijkstra，时间复杂度O(n3)
佛洛依德Floyd算法
所有顶点到所有顶点的最短路径
有向无环图
拓扑排序
无环有向图
AOV网：有向图+顶点表示活动，的网
顶点表示活动
弧表示活动间的优先关系
不存在回路
重点：优先关系，vi->vj：vi发生之后才可以发生vj
拓扑序列：有向图的顶点序列，序列中vi到vj有一条路径，且在顶点序列中vi在vj前面
拓扑排序：有向图构造拓扑排序的过程
网的全部顶点被输出，不存在环的AOV网
缺少顶点，存在环，不是AOV网
算法
入度为0的顶点全部入栈，栈顶输出，
删除此顶点，删除以此顶点为尾的弧（弧头元素入度-1，入度为0的入栈）
重复直到输出全部，或不存在入度为0的顶点
邻接表
n个顶点e条弧，时间复杂度O(n+e)
O(n)（扫描顶点表加入入度为0）+O(e)（出入栈，入度减一）
关键路径
AOE网：带权有向图+边表示活动，的网
顶点表示事件
有向边表示活动
边上的权值表示活动持续时间
源点：没有入边的顶点
终点：没有出边的顶点
AOE网只有一个源点，一个终点
路径长度：路径上各个活动持续的时间和
关键路径：源点到汇点具有最大长度的路径
关键活动：在关键路径上的活动
重点：减少关键路径上关键活动的时间才能减少整个工期
（顶点）最早发生时间
（顶点）最晚发生时间
（弧）最早开工时间
（弧）最玩开工时间
算法
拓扑排序，得出最早发生时间evt，拓扑序列列表stack
当k=0时：etv[k]=0;
当k≠0且< vi,vk >∈ P[k]时： etv[k]=max{etv[i]+len<vi,vk>};
根据evt和stack计算 最晚发生时间：
当k=n-1时：ltv[k]=etv[k];
当k<n-1且<vk,vj >∈ P[k]时： ltv[k]=min{etv[j]+len<vk,vj>};
活动最早发生时间=起点最早发生时间
活动最晚发生时间=终点最晚发生时间-活动时间
两者相等即为关键活动，关键路径
时间复杂度O(n+e)
