机械学习—零基础学习日志(高数17——极限局部有界性)

news2024/9/22 1:16:22

零基础为了学人工智能,真的开始复习高数

这里我们更加详细讲解函数极限性质。上一篇文章里有一些内容还需要进一步补充。

局部有界性

这里是局部有界性的需要注意的事项。第3点,如果函数在闭区间内连续,则必定有界。试想一下,如果一个函数无界,一定是无穷大嘛?

如果在开区间内,函数无界,极限不一定是无穷大。这里的具体案例是一种震荡函数(我不知道为什么叫震荡函数,只是趋势的确震荡)。那就是:

\frac{1}{x}\sin (\frac{1}{x})

这个函数在极限趋于0时,因为sinx的特性,会导致结果有时为零。所以不能说极限为无穷大。这是一个很有趣的反例。

这里也需要注意,极限存在是一个很重要的条件。在第4条中,如果开区间,但是临近开区间的两侧极限如果存在,那就意味着必定有界。

局部保号性

张宇老师讲解了超实数的概念,一般而言,接触新概念大家会比较陌生。但是其实超实数对于大家理解极限,真的很有帮助。

那具体如何理解超实数呢?我给出一些粗鄙的说法。

对于实数,这是一种静态概念。例如,一个实数,是多少必然就是多少。但是超实数不是静态的,是一种动态概念。用现实生活来看待,假设一个人站在原地不动,那就是实数,但是如果有另外一个人正在无限靠近你,却永远到达不了你的位置。

这个无限,不断靠近的过程其实就是一种动态概念,也包含了超实数的逻辑。

而局部保号性的理解就使用了这种基本逻辑。

第二条,x0的去心领域f(x)大于等于0,因为f(x)>0时,A作为一个实数,A的值是可以取到0的,因此,直接在x0的去心邻域内,f(x)大于等于零。

而第一条,f(x)趋近于A,而A大于0,这里涉及到了超实数的概念。因为A本身大于零,对应的实数也必定大于零了。f(x)必定大于零。

由此也产生了张宇老师讲解的带帽,脱帽...其实没记住,我记住了逻辑。

证明

习题:

​主要参考:《2025考研数学全程班 基础30讲 张宇考研数学!》

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