文章目录
- 二叉树的概念
- 二叉树的性质
- 1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1 个结点.
- 2. 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2 h − 1 2^h-1 2h−1.
- 3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n 0 n_0 n0 , 度为2的分支结点个数为 n 2 n_2 n2 ,则有 n 0 n_0 n0 = n 2 n_2 n2 + 1.
- 4. 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= l o g 2 ( n + 1 ) log_2(n+1) log2(n+1).
- 5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
二叉树的概念
- 满二叉树:一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2 k − 1 2^k - 1 2k−1 ，则它就是满二叉树。
- 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的性质
1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1 个结点.
证明：
2. 若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2 h − 1 2^h-1 2h−1.
证明：
前提条件：
一个深度为 ( h ) 的满二叉树在每一层都有最大数量的结点，即第
i
i
i 层有
2
i
−
1
2^{i-1}
2i−1个结点
i
i
i从 1 开始计数，即根结点所在的层为第一层。
归纳假设:
假设对于任意正整数 ( k < h )，深度为 ( k ) 的二叉树的最大结点数为 ( 2^k - 1 )。
归纳步骤:
-
我们知道深度为 h h h的满二叉树的第 i i i层的结点数为 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1。那么整个树的最大结点数可以表示为：
S = 2 0 + 2 1 + 2 2 + ⋯ + 2 h − 1 S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} S=20+21+22+⋯+2h−1
这是一个等比数列的求和问题，其中首项 a 1 = 2 0 = 1 a_1 = 2^0 = 1 a1=20=1，公比 q = 2 q = 2 q=2，项数 n = h n = h n=h。
等比数列的求和公式为：
S
=
a
1
(
1
−
q
n
)
1
−
q
S = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}
S=1−qa1(1−qn)
将
a
1
=
1
a_1 = 1
a1=1,
q
=
2
q = 2
q=2,
n
=
h
n = h
n=h 代入得：
S
=
1
(
1
−
2
h
)
1
−
2
=
2
h
−
1
S = \frac{1(1-2^h)}{1-2} = 2^h - 1
S=1−21(1−2h)=2h−1
因此，深度为 h h h 的二叉树的最大结点数为 2 h − 1 2^h - 1 2h−1。
用错位相减法求和，我们可以这样：
假设 S S S为整个二叉树的最大结点数，那么可以写出两个等式：
S = 2 0 + 2 1 + 2 2 + ⋯ + 2 h − 2 + 2 h − 1 S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-2} + 2^{h-1} S=20+21+22+⋯+2h−2+2h−1
2 S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + ⋯ + 2 h − 1 + 2 h 2S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h 2S=21+22+23+⋯+2h−1+2h
现在，我们从 2 S 2S 2S中减去 S S S：
2
S
−
S
=
(
2
1
+
2
2
+
2
3
+
⋯
+
2
h
−
1
+
2
h
)
−
(
2
0
+
2
1
+
2
2
+
⋯
+
2
h
−
2
+
2
h
−
1
)
2S - S = (2^1 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h) - (2^0 + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-2} + 2^{h-1})
2S−S=(21+22+23+⋯+2h−1+2h)−(20+21+22+⋯+2h−2+2h−1)
化简：
S
=
2
h
−
1
S = 2^h - 1
S=2h−1
因此，错位相减法，得到了相同的结论。
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n 0 n_0 n0 , 度为2的分支结点个数为 n 2 n_2 n2 ,则有 n 0 n_0 n0 = n 2 n_2 n2 + 1.
证明：
-
从结点的角度考虑:
- 一棵二叉树包含度为0、1或2的结点。
- 设度为0的结点数量为 n 0 n_0 n0，度为1的结点数量为 n 1 n_1 n1，度为2的结点数量为 n 2 n_2 n2。
- 总结点数 N N N 是这些结点数量之和，即 N = n 0 + n 1 + n 2 N = n_0 + n_1 + n_2 N=n0+n1+n2。（方程①）
-
从边的角度考虑:
- 一棵含有 N N N 个结点的二叉树总共有 N − 1 N - 1 N−1 条边。
- 每个度为1的结点产生1条边，每个度为2的结点产生2条边，度为0的结点不产生边。
- 所以总边数为 n 1 + 2 ⋅ n 2 n_1 + 2 \cdot n_2 n1+2⋅n2。
- 根据边的数量可得方程 N − 1 = n 1 + 2 ⋅ n 2 N - 1 = n_1 + 2 \cdot n_2 N−1=n1+2⋅n2。（方程②）
-
结合① 和 ②得:
- 将方程①和方程②联立起来，我们可以消去
n
1
+
n
2
n_1 + n_2
n1+n2：
N = n 0 n_0 n0 + n 1 n_1 n1 + n 2 n_2 n2 - 将
N
N
N代入第二个方程，我们得到：
n 0 n_0 n0 + n 1 n_1 n1 + n 2 n_2 n2 = n 1 n_1 n1 + 2 * n 2 n_2 n2 - 1
n 0 n_0 n0 = n 2 n_2 n2 + 1
- 将方程①和方程②联立起来，我们可以消去
n
1
+
n
2
n_1 + n_2
n1+n2：
因此，得出结论：在一棵二叉树中，度为0的结点数量（叶子结点的数量）总是比度为2的结点的数量多1个。
4. 若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= l o g 2 ( n + 1 ) log_2(n+1) log2(n+1).
证明：
由第二个性质可知：深度为h的二叉树的最大结点数是
2
h
−
1
2^h-1
2h−1.
所以，n =
2
h
−
1
2^h-1
2h−1,
解得：h=
l
o
g
2
(
n
+
1
)
log_2(n+1)
log2(n+1)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
- 若i>0，i位置结点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
- 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
- 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
