一、建立系统数学模型

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=x_3\\ {\dot{x}}_3=x_1+x_2{x}_3+u\end{array}\end{array}$$
该数学模型参考：通俗理解滑模变结构控制

二、控制器设计

设计滑模控制器需要满足以下条件：

1. 稳定性条件：在s=0的滑模面上，状态是收敛的，即滑动模态存在；
2. 可达性条件：在切换面s=0以外的运动点将于有限时间内到达切换面；
3. 保证滑模运动的稳定性；
4. 达到控制系统运动品质要求。

1. 设计滑模面(切换面)

$$\begin{array}{r}s=x_1+2x_2+x_3\end{array}$$

2.设计控制器 u

对滑模面函数求导得
$$\dot{s}={\dot{x}}_1+2{\dot{x}}_2+{\dot{x}}_3$$

将数学模型中状态变量表达式代入可得
$$\begin{array}{rl}\dot{s}& ={\dot{x}}_1+2{\dot{x}}_2+{\dot{x}}_3\\ & =x_2+2x_3+x_1+x_2{x}_3+u\\ & =x_1+x_2+2x_3+x_2{x}_3+u\end{array}$$

取 $\dot{s}$ = 趋近律， 采用指数趋近律 $\dot{s}=-sgn(s)-s$ （$sgn(s)$为符号函数）求得控制器 $u$
$$\begin{array}{r}u=-sgn(s)-s-x_1-x_2-2x_3-x_2{x}_3\end{array}$$

3. 稳定性证明

设计$Lyapunvo$函数 $V=\frac{1}{2}{s}^2$ , 求得其导数 $\dot{V}=s\dot{s}=-|s|-s^2$
由此可知，该$Lyapunvo$ 函数的导数负定，系统渐进稳定，$t\to \infty$ 时，$s\to 0$。因此$x_1,x_2,x_3$都趋于$0$。

三、 Matlab 仿真

1. s-function 模型

2. 主要代码

仿真中，为避免与模板中的 $u$ 冲突，将输入 u 用 control_u 替代。

pa = struct('c1',1, ...
            'c2',2);

  case 1,
    sys=mdlDerivatives(t,x,u,pa);

  case 3,
    sys=mdlOutputs(t,x,u,pa);

sizes.NumContStates  = 3; %3个连续状态变量
sizes.NumDiscStates  = 0; %input只有输出，没有输入，即没有自身状态
sizes.NumOutputs     = 4; %输出为：dx1,dx2,dx3,control_u
sizes.NumInputs      = 0; %输入个数为0
sizes.DirFeedthrough = 0; %输入不会直接影响输出。输出是仅仅由状态变量决定的
sizes.NumSampleTimes = 1;   % at least one sample time is needed
%状态方程的更新通过输入u 来计算新的状态值，然后输出这些状态值。
%这意味着输入u 不直接影响输出，而是通过状态更新来间接影响输出。
%所以 DirFeedthrough 应该设置为 0。

% 初始化状态变量
x0  = [3;0;0]; 

function sys=mdlDerivatives(t,x,u,pa)
c1 = pa.c1;
c2 = pa.c2;
x1 = x(1);
x2 = x(2);
x3 = x(3);
%滑模面
s = x3+c2*x2+c1*x1;
%控制输入
control_u = -sign(s)-s-x1-x2-2*x3-x2*x3;
%系统状态方程
dx1 = x2;
dx2 = x3;
dx3 = x1+x2*x3+control_u;
sys = [dx1;dx2;dx3];

%输出函数
function sys=mdlOutputs(t,x,u,pa)
c1 = pa.c1;
c2 = pa.c2;
x1 = x(1);
x2 = x(2);
x3 = x(3);
%滑模面
s = x3+c2*x2+c1*x1;
%控制输入
control_u = -sign(s)-s-x1-x2-2*x3-x2*x3;   %使用符号函数sign(s)
%control_u = -sat(s)-s-x1-x2-2*x3-x2*x3;     %使用饱和函数消除抖振(改进)
% 输出状态变量 x1, x2, x3 以及 control_u
sys = [x;control_u]; %或者sys = [x(1);x(2);x(3);control_u];

3. 仿真结果(采用符号函数sign(s))

使用符号函数的控制器u，会产生明显抖振，为了消除抖振，可以采用饱和函数来替代符号函数
即指数趋近律 $\dot{s}=-sgn(s)-s$ 换为 $\dot{s}=-sat(s)-s$
其中

$$sat(s)=\{\begin{array}{ll}1& s>\Delta \\ ks& |s|\le \Delta ，k=1/\Delta \\ -1& s<-\Delta \end{array}$$

取阈值$\Delta =1$ ， 改进后的控制器u为
$$\begin{array}{r}u=-sat(s)-s-x_1-x_2-2x_3-x_2{x}_3\end{array}$$

更改代码实现饱和函数控制器，只需把之前函数输出部分代码中$sign(s)$改为$sat(s)$,其余不变

function sys=mdlOutputs(t,x,u,pa)
c1 = pa.c1;
c2 = pa.c2;
x1 = x(1);
x2 = x(2);
x3 = x(3);
%滑模面
s = x3+c2*x2+c1*x1;
%控制输入
%control_u = -sign(s)-s-x1-x2-2*x3-x2*x3;   %使用符号函数sign(s)
control_u = -sat(s)-s-x1-x2-2*x3-x2*x3;     %使用饱和函数消除抖振

% 输出状态变量 x1, x2, x3 以及 control_u
sys = [x;control_u]; %或者sys = [x(1);x(2);x(3);control_u];

并在s-function函数最下方(即$mdlTerminate(t,x,u)$函数后面)添加 $sat(s)$饱和函数的实现：

%function sys=mdlTerminate(t,x,u)
%sys = [];
% end mdlTerminate

% y = sat(s) 将输入 s 限制在 [-1, 1] 范围内，其中 k = 1 / D
function y = sat(s)   
D = 1; %设置阈值 D
k = 1 / D; %设置比例常数 k
if s > D
    y = 1;
elseif s < -D
    y = -1;
else
    y = k * s;
end

4. 仿真结果(采用饱和函数sat(s))

可以看出，抖振被有效消除。