1.不定积分

1.1 原函数

1.1.1 原函数与不定积分的定义

原函数定义：
f(x) 定义在某个区间上，对于这个区间的各点，存在一个可导函数F’(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的原函数，∫f(x)dx=F(x)+c 叫做区间I上的不定积分。

1.1.2 原函数存在定理

原函数存在定理(不定积分存在定理):

1. 连续函数必有原函数

反之不成立，有振荡间断点的函数，也可能有原函数

2.含有第一类间断点和无穷间断点的函数f(x)，在包含该间断点的区间内必没有间断点

除了振荡间断点可能存在原函数，存在其他间断点肯定没有原函数

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如何求判断一个函数是否存在原函数(以分段函数为例)

1️⃣基本判断:看看是否为连续函数，连续函数必存在，若有间断点，除非是振荡间断点，没有原函数。

2️⃣若上一步没判断出来，先写出它的原函数。若该函数不连续或不可导也说明不存在原函数，因为原函数必可导，可导必连续

如何求一个函数的原函数(以分段函数为例)

注意保证原函数连续，这是一个讨论点

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2.定积分

写在最前，定积分本质就是个数，这句话是做题的钥匙。

2.1 定积分的定义

个人理解定义:

一条曲线对应的横坐标，取无数个，每两个横坐标之间就组成了一个小块，在这些小块里取最大的一个写作德尔塔x，在这些小块中任意取一一个高，ξk就是高所对应的横坐标，把这些小块求和就曲边梯形的面积

公式:

2.2 定积分的精确定义

精确定义意味着，我们限定了两个端点a和b，把a到b这段区间分成n块，ξ取每个小块的最右端点

2.3 定积分的几何意义

曲面梯形的面积，注意有正有负，相加计算

2.4 定积分的存在定理

充分条件:

1. f(x)在a到b闭区间连续，定积分存在
2. f(x)在a到b闭区间单调，定积分存在
3. f(x)在a到b闭区间上有界，且只有有限个第一类间断点，定积分存在

振荡间断点如果是有界振荡，定积分存在，无穷间断点肯定不行

必要条件：
可积函数必有界，积分区间对应定义域

🧐小思考

为什么定积分存在，原函数不一定存在？（也就是定积分存在，不定积分不一定存在）
定积分限定了区间的端点，里面不含有第一类振荡间断点和无穷间断点，但是整个原函数的定义区间上，可能存在那些间断点

2.5 定积分的性质

积分的保号性(加上积分符号的性质）:

简单来说，就是区间上的函数对应f(x)≤g(x)，加上积分号仍然成立
特殊的，外加绝对值的积分≤内加绝对值的积分
假如一个函数f(x)不恒等于零且非负，那么加上积分号，必>0

估值定理：
设m和M是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，L为区间[a,b]的长度，则有
$$mL\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\le ML$$

积分中值定理:
$$积分中值定理，开区间连续，闭区间可导，存在一点c在\left(a,b\right)之间,使得{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=\left(b-a\right)f\left(c\right)$$

3.变限积分

3.1 变限积分的定理

如何理解变限积分
变限积分其实就是定积分的推广，上限和下限非固定的数，而是可以变化的数，故x看成常数，能够提出来。

3.2 变限积分的性质

本小节比较重要

1.连续性：
$$若f(x)在[a,b]上可积，则\underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt在\left[a,b\right]上连续$$
简记：函数可积，变上限积分连续

可积：可以积分的意思，函数存在有限个第一类间断点可积，但是第二类不行。
但是存在间断点，会破坏连续性

2.可导性：
$$若f(x)在[a,b]上连续，则\underset{a}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt在\left[a,b\right]上可导,F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$$
简记：函数连续，变上限积分可导

补充，可导的条件比可积强烈。
f(x)可导➡️连续➡️可积➡️有界

假如不连续，存在第一类间断点，我们讨论在不定积分在一点x上可导的结论：

为什么不讨论第二类间断点，第二类间断点直接就不可积了，没有讨论的必要性了。

$$\begin{gathered} 若是可去间断点，可导，且F^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right) \\ 若是跳跃间断点，连续但不可导，且F\left(x\right)左导数=左函数值，F\left(x\right)右导数=右函数值 \end{gathered}$$

可去间断点，左导数=右导数，可导，但是该点不存在，只能算极限
跳跃间断点:左导数≠右导数，所以不可导，可积就连续，自然连续。

3.奇偶性：
设f(x)连续
$$\begin{gathered} 1.若f\left(x\right)是奇函数，则\underset{0}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt为偶函数，0可以改成a \\ 2.若f\left(x\right)是偶函数，则\underset{0}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt为奇函数，0不可以改成a \end{gathered}$$

补充一点知识:

连续的奇函数，所有原函数都是偶函数，但是连续的偶函数，所有原函数不都是奇函数
因为原函数要+C，我们不能发现，偶函数+C后，还是关于y轴对称，但是奇函数+C后，可不一定关于原点对称。

f(x)只有连续，变上限积分才是他的原函数。

4.反常积分(待更新)