河南萌新联赛2024第（一）场：河南农业大学 A题

造数

题目描述

样例 #1

样例输入 #1

2

样例输出 #1

1

样例 #2

样例输入 #2

5

样例输出 #2

3

做题思路

本题可以用逆推法
将三种操作反过来变为
$-1,-2,/2$
问最少需要多少次可以将$n$转化为$0$

那么正常思维肯定是如果数字很大，三个操作中$/2$是变小最快的。
直到到2了可以进行$-2$将其变为$0$(不能看为$/2$,因为$0\ast 2=0$,而$0+2=2$)

问题就在于偶数的乘除是可逆的，但(在计算机整数运算中)奇数不是

具体的例子$7/2=3$ , 但$3\ast 2=6$

所以逆推法在遇到奇数如果直接去除2最好推出的答案有问题。

最简单的例子就是$7$

$7/2=3,3/2=1,1-1=0$为三部
但实际上三步无法从$0$通过$+1,+2,\times 2$变为$7$

根本的原因就在于计算机整数运算的向下取整

所以最简单的解决办法就是，遇到奇数通过加减将其变为偶数即可。

因为加减是可逆的，无任何问题。

逆推法的在运用的重点在于每次操作必须可逆。
只需保证$n$到$0$的速度是最快的，用的操作是最少的即可(其中暗含贪心思想)。
很容易验证除了$0,2$以外的正偶数进行$/2$的操作一定是最佳的。
也就是说$a/2\le a-2<a-1$

对于奇数的证明从正推可以得到一点，因为$2$为偶数，所以奇数只能通过$+1$操作得到。
也就对于着逆推的$-1$操作。

总结思路

1. 从n开始
2. 遇到偶数就除二，否则-1
3. 重复第二步直到数字变为2

答案就是操作第二步的步数+1

时间复杂度分析

因为每次基本上都是以$/2$进行所以时间复杂度约为$O(lo{g}_{2}n)$

伪代码

赛时代码

#include <iostream>
#include <queue>
#include <tuple>
#include <map>
#define int long long
using namespace std;

signed main(){
    int n;
    cin >> n;
    int sum = 0;
    if(n&1){sum ++ ; n--;}
    while(n){
        if(n == 2){
            sum ++;
            break;
        }
        n >>= 1;sum ++;
        //cout << n << ' ';
        if(n&1){sum ++ ; n--;continue;}
        
    }
    cout << sum;
    return 0;
}