一、定义

优先级队列(priority queue)：

• 0个或多个元素的集合
• 每个元素都有一个优先级或值。
• 与FIFO结构的队列不同，优先级队列中元素出队列的顺序由元素的优先级决定。
• 从优先级队列中删除元素是根据优先级高或低的次序，而不是元素进入队列的次序.
• 优先级队列中的元素可以有相同的优先级

对优先级队列执行的操作有:

• 查找一个元素(top)
• 插入一个新元素(push)
• 删除一个元素(pop)

两种优先级队列：

• 最小优先级队列：“查找/删除” 操作用来“查找/删除”优先级最小的元素
• 最大优先级队列：“查找/删除”操作用来“查找/删除”优先级最大的元素

二、ADT

实例：

• 有限个元素集合
• 每个元素都有一个优先级

操作（以最大优先级队列为例）：

• empty()：判断优先级队列是否为空，为空时返回true
• Size()：返回队列中的元素数目
• top()：返回优先级最大的元素
• pop()：删除优先级最大的元素
• push(x)：插入元素x

三、优先队列的描述

3 种描述方法：

• 线性表
• 堆
• 左高树

3.1 线性表

采用无序线性表来描述最大优先级队列

• 数组描述(利用公式Location(i)=i-1)
  插入：表的右端末尾执行，时间: $\Theta (1)$ ;
  删除: 查找优先级最大的元素，时间: $\Theta (n)$;
• 链表描述
  插入：在链头执行，时间: $\Theta (1)$;
  删除: 查找优先级最大的元素， $\Theta (n)$ ;

采用有序线性表描述最大优先级队列

• 数组描述(利用公式Location(i)=i-1),元素按递增次序排列)
  插入：先查找插入元素的位置，时间: O(n) ;
  删除: 删除最右元素，时间: $\Theta (1)$ ;
• 链表描述(按递减次序排列)
  插入：先查找插入元素的位置，时间: O(n) ;
  删除: 表头删除，时间: $\Theta (1)$ ;

3.2 堆

大/小根树：

• 每个节点的值都大于(小于)或等于其子节点(如果有的话)值的树
• 大根树(max tree):又称最大树
• 小根树(min tree):又称最小树
• 大根树或小根树节点的子节点个数可以大于2

大根堆/小根堆：

• 既是大根树(小根树)，又是完全二叉树
• 大根堆(max heap):又称最大堆
• 小根堆(min heap):又称最小堆

堆是完全二叉树，可用一维数组有效地描述堆。
关于完全二叉树，见本系列数据结构C++——二叉树和树

3.2.1 最大堆的ADT

数据成员：

• T *heap; // 元素数组
• int arrayLength; //数组的容量
• int heapSize; //堆中的元素个数

方法：

• empty()：判断heapSize是否为0
• Size()：返回heapSize的值
• top()：如果 堆为空(heapSize==0)，抛出异常queueEmpty；否则返回 heap[1]（heap[0]未使用）
• pop()
• push(x)

重点：插入push、删除pop

3.2.2 最大堆的插入

流程：

• 作为叶子节点插入最大堆
• 与其父节点比较，若新插入节点更大，则两者交换(实际只是将父节点的值向下移)。否则该位置就是合法的，插入结束。
• 若发生交换，则重复这个过程，直到位置合法/交换为根节点

代码实现：

template<class T>
maxHeap<T>& maxHeap<T>::push(const T& theElement)
{
   
	// 把theElement 插入到大根堆中
	if  (heapSize = = arrayLength-1) // 没有足够空间
		……//数组长度加倍
  //为theElement寻找应插入位置
  // currentNode 从新的叶节点开始，并沿着树上升
  int  currentNode = ++heapSize;
  while (currentNode != 1 && theElement > heap[currentNode/2])
	{
   //不能够把theElement放入heap[currentNode]
		heap[currentNode] = heap[currentNode/2]; // 将元素下移
		currentNode /= 2; // 移向父节点
	}
	heap[currentNode] = theElement;

}

插入的时间复杂度：

• 插入的时间复杂性.
  每一层的工作，耗时：$\Theta (1)$
• 实现插入策略的时间复杂性：
  $O(height)=O(lo{g}_{2}n)$ (n 是堆的大小)

3.2.3 最大堆的删除

流程：

• 删除heap[1]
• 将最后一个元素heap[heapsize–]放到heap[1]的位置
• 显然，此时不满足最大堆的性质
• 因此，需要重新调整最大堆

调整为最大堆:

• current初始化为1，指向根的位置，表示被替换的空位置
• child 初始化为2，指向current的左孩子
• lastElemet = 原来最大堆的最后一个元素
• 循环判断：