目录
一、时间复杂度
1、时间复杂度的概念
2、大O的渐进表示法
3、常见的时间复杂度计算举例
二、空间复杂度
1、空间复杂度的概念
2、常见的空间复杂度计算举例
三、常见复杂度对比
正文开始——
前言
一个算法，并非越简洁越好，那该如何衡量一个算法的好坏呢？看其复杂度。复杂度又分为时间复杂度和空间复杂度。
一、时间复杂度
1. 时间复杂度的概念
在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行程序所消耗的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有上机测试才能得知，于是我们有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n",count);
}Func1执行的基本次数：N^2+2*N+10
实际计算时间复杂度，我们不一定要精确计算执行次数，只需要计算大概的执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。
2. 大O的渐进表示法
大O符号：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
- 如果最高阶项存在且不为1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
so Func1的时间复杂度为：O（N^2）。通过上面我们发现大O的渐进法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
最好情况：1次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据x的时间复杂度为O（N）。
3. 常见的时间复杂度计算举例
实例1：
//计算Func2的时间复杂度
void Func2(int N)
{
int count=0;
for(int k=0;k<2*N;k++)
{
++count;
}
int M=10;
while(M--)
{
++count;
}
printf("%d\n",count);
}【解析】Func2执行的基本次数：N*2+10 ，所以其时间复杂度为：O（N）。
实例2：
//计算Func3的时间复杂度
void Func3(int N,int M)
{
int count=0;
for(int k=0;k<M;++k)
{
++count；
}
for(int k=0;k<N;++k)
{
++count；
}
printf("%d\n",count);
}【解析】Func3执行的基本次数：M+ N，有两个未知数M，N，时间复杂度：O（M+N）。
实例3：
//计算Func4的时间复杂度
void Func4(int N)
{
int count=0;
for(int k=0;k<100;++k)
{
++count;
}
printf("%d\n",count);
}【解析】Func4执行的基本次数：100，对于常数一律用O（1）。
实例4：
//计算strchr的时间复杂度
const char* strchr (const char* str,int character);【解析】基本操作最好情况执行1次，最坏N次，时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为O（N）。
实例5：
//计算BubbleSort的时间复杂度
void BubbleSort(int* a,int n)
{
assert(a);
for(size_t end=n;end>0;--end)
{
int exchange=0;
for(size_t i=1;i<end;++i)
{
if(a[i-1]>a[i])
{
Swap(&a[i-1],&a[i]);
exchange=1;
}
}
if(exchange==0)
break;
}
}【解析】基本操作最好情况执行N次，最坏执行（N*（N+1））/2次，所以时间复杂度为O（N^2）.
实例6：
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid-1;
else
return mid;
}
return -1;
}【解析】基本操作最好执行1次，最坏O（logN）次，时间复杂度为O（logN）。ps：logN在算法分析中表示底数为2，对数为N。
实例7：
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}【解析】递归了N次，时间复杂度为O（N）。
实例8：
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2)
}【解析】时间复杂度为O（2^N）。
二、空间复杂度
1. 空间复杂度的概念
空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没有太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则与时间复杂度相似，也是用大O渐进表示法。
【注意】函数运行时所需要的栈空间（存储函数、局部变量、一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候 显示申请的额外空间 来确定。
2. 常见空间复杂度计算举例
实例1：
// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}【解析】 在函数运行过程中申请常数个额外空间，所以空间复杂度为O（1）。
实例2：
// 计算Fibonacci的空间复杂度
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}【解析】 动态开辟了N个空间，所以空间复杂度为O（N）。
实例3：
// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}【解析】递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O（N）。
三、常见复杂度对比
完——
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