【C++】学习笔记——红黑树

news2024/11/13 15:14:10

文章目录

  • 十七、红黑树
    • 1.红黑树的概念
      • 红黑树的性质
    • 2.红黑树节点的定义
    • 3.红黑树的插入
    • 4.红黑树的验证
    • 5.完整代码+结果演示
    • 6.红黑树与AVL树的比较
  • 未完待续

十七、红黑树

1.红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。
在这里插入图片描述

红黑树的性质

  1. 每个结点不是红色就是黑色。
  2. 根节点是黑色的。
  3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的。（即不存在连续的两个红色节点）
  4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的路径上，均包含相同数目的黑色结点。（即每条路径具有相同数量的黑色节点）
  5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是 空结点 )。 空节点！！

由以上性质可知：如果存在，红黑树的最短路径是全黑色节点；最长路径则是一个黑色节点一个红色节点交替，所以 红黑树才能确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍 。

2.红黑树节点的定义

红黑树节点的定义与AVL树及其相似，唯二的区别就是，红黑树没有平衡因子，红黑树有颜色值。

// 枚举颜色
enum Color
{
    RED,
    BLACK
};

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
    RBTreeNode* _left;
    RBTreeNode* _right;
    RBTreeNode* _parent;
    pair<K, V> _kv;
    // 颜色
    Color _col;

    RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
        :_left(nullptr)
        ,_right(nullptr)
        ,_parent(nullptr)
        ,_kv(kv)
        ,_col(RED)
    {}
};

为什么我们构造函数将颜色值默认设置成红色？因为我们创建的节点有两个孩子，两个孩子都是空节点，都是黑色的，如果创建的节点不把原本的这个位置的黑色空节点给替换掉，那么这条路径就会比其他路径多出一个黑色，违反了红黑树的性质。因此，新创建的节点一定是红色的。

3.红黑树的插入

先打个预防针：光靠区分节点颜色无法保证红黑树的结构，红黑树的插入在特殊情况同样需要 AVL树的旋转 操作。
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：
Ⅰ：按照二叉搜索的树规则插入新节点。 这步就不再多说，应该都比较熟悉。

bool Insert(const std::pair<K, V>& kv)
{
    // 空树则创建根节点
    if (_root == nullptr)
    {
        _root = new Node(kv);
        // 红黑树的根节点是黑色的
        _root->_col = BLACK;
        return true;
    }
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    // 找到新节点应该插入的位置
    while (cur)
    {
        // 比父节点小， 往左子树找
        if (kv.first < cur->_kv.first)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        // 比父节点大， 往右子树找
        else if (kv.first > cur->_kv.first)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else
        {
            // 已经存在该值， 插入失败
            return false;
        }
    }
    cur = new Node(kv);

    // 父节点指向新节点
    if (kv.first < parent->_kv.first)
        parent->_left = cur;
    else
        parent->_right = cur;

    // 新节点指向父节点
    cur->_parent = parent;
	
	// ------begin------
	//
    // 修正结构和颜色
    //
    // ------end------
    
    // 保证根节点是黑色的
    _root->_col = BLACK;

    // 插入成功
    return true;
}

Ⅱ：检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏 。这一步非常重要，算是红黑树的精华所在。红黑树中，我们需要关注叔叔节点（父亲的兄弟）。红黑树的情况复杂，因此我们要对出现的情况进行分类讨论：
约定:cur为当前节点，p为父节点，g为爷爷节点，u为叔叔节点
①cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红。由于新插入的节点必定是红色，但是p父节点也是红色，违反了不能出现连续红色的性质，所以我们需要进行修正颜色。由于刚好u叔叔节点是红色，所以最简单的方法就是 将g爷爷节点的黑色平分到它的两个孩子，p节点和u节点， 然后g节点变红即可 。
在这里插入图片描述
需要注意的是：由于g节点变成了红色，可能它与它的父节点违反了规则，所以我们需要循环向上判断，直到根节点。
在这里插入图片描述

② cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑。
在这里插入图片描述

说明:u的情况有两种
1.如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，那么前面肯定符合红黑树，则则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色，此时u若不存在，则两条路径黑色数量不一致，就不满足红黑树的性质，所以u不存在，则cur一定是新插入的节点。
2.如果u节点存在，且为黑色时（红色已在①中讨论），如果cur是新插入节点，则说明原本的树就不符合红黑树性质，所以cur不是新插入的节点。

此时我们可以借助AVL树的旋转来调整结构，然后修改颜色即可。
调整结构：p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转；
变色：p、g变色 —> p变黑，g变红
在这里插入图片描述

③cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑。有人会说，这不跟情况②一样吗？并不是，情况②是p和cur在同侧，与u相反，而这里，p和cur并不在同侧，cur的位置偏向u，朝内的。
在这里插入图片描述
这个时候怎么办呢？当然还是借助AVL树的思想，我可以在这里进行双旋。先旋转一次，让cur朝向外侧，就变成了情况②，然后再旋转一次即可。
在这里插入图片描述
旋转调整结构：p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转。

综上所述：我们只需要记住：
叔叔节点存在并且是红色， 则不需要旋转，将爷爷节点的黑色分给父亲和叔叔，爷爷变红即可（需要向上调整)。
叔叔节点不存在或是黑色， 则需要旋转。cur节点朝外就是单旋，朝内就是双旋（旋转后是不需要再向上调整的），然后进行变色处理。
最后可能会将根节点染成红色，插入结束的时候特判一下即可。
修正结构和颜色的代码：

// 修正结构和颜色
// 父亲存在且是红色
while (parent && parent->_col == RED)
{
    // 爷爷节点
    Node* grandfather = parent->_parent;
    // 父亲是爷爷的左
    if (parent == grandfather->_left)
    {
        // 叔叔节点
        Node* uncle = grandfather->_right;
        // 叔叔节点存在且为红色
        if (uncle && uncle->_col == RED)
        {
            // 父节点变黑， 叔叔节点变黑， 爷爷节点变红
            parent->_col = uncle->_col = BLACK;
            grandfather->_col = RED;
            
            // 继续往上修正
            cur = grandfather;
            parent = cur->_parent;
        }
        // 叔叔节点不存在或为黑色
        else
        {
            // 左左
            if (cur == parent->_left)
            {
                // 右单旋 + 修正颜色
                RotateR(grandfather);
                parent->_col = BLACK;
                grandfather->_col = RED;
            }
            // 左右
            else
            {
                // 左单旋父节点
                RotateL(parent);
                // 右单旋爷爷节点
                RotateR(grandfather);

                // 修正颜色
                cur->_col = BLACK;
                grandfather->_col = RED;
            }
            // 旋转后退出
            break;
        }
    }
    // 父亲是爷爷的右
    else
    {
        // 叔叔节点
        Node* uncle = grandfather->_left;
        // 叔叔节点存在且为红色
        if (uncle && uncle->_col == RED)
        {
            // 父节点变黑， 叔叔节点变黑， 爷爷节点变红
            parent->_col = uncle->_col = BLACK;
            grandfather->_col = RED;

            // 继续往上修正
            cur = grandfather;
            parent = cur->_parent;
        }
        // 叔叔节点不存在或为黑色
        else
        {
            // 右右
            if (cur == parent->_right)
            {
                // 左单旋 + 修正颜色
                RotateL(grandfather);
                parent->_col = BLACK;
                grandfather->_col = RED;
            }
            // 右左
            else
            {
                // 右单旋父节点
                RotateR(parent);
                // 左单旋爷爷节点
                RotateL(grandfather);

                // 修正颜色
                cur->_col = BLACK;
                grandfather->_col = RED;
            }
            // 旋转后退出
            break;
        }
    }
}

旋转代码：

// 左左 --- 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
    // 父节点的左孩子
    Node* subL = parent->_left;
    // 父节点的左孩子的右孩子
    Node* subLR = subL->_right;
    // 父节点的父节点
    Node* ppnode = parent->_parent;

    // 修改父节点的指向
    parent->_left = subLR;
    parent->_parent = subL;

    // 修改父节点的左孩子的指向
    subL->_right = parent;
    subL->_parent = ppnode;

    // 如果父节点的左孩子的右孩子存在，则修改其指向
    if (subLR)
        subLR->_parent = parent;

    // 修改父节点的父节点的指向
    if (parent == _root)
        _root = subL;
    else if (parent == ppnode->_left)
        ppnode->_left = subL;
    else
        ppnode->_right = subL;
}

// 右右 --- 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
    // 父节点的右孩子
    Node* subR = parent->_right;
    // 父节点的右孩子的左孩子
    Node* subRL = subR->_left;
    // 父节点的父节点
    Node* ppnode = parent->_parent;

    // 修改父节点的指向
    parent->_right = subRL;
    parent->_parent = subR;

    // 修改父节点的右孩子的指向
    subR->_left = parent;
    subR->_parent = ppnode;

    // 如果父节点的右孩子的左孩子存在，则修改其指向
    if (subRL)
        subRL->_parent = parent;

    // 修改父节点的父节点的指向
    if (parent == _root)
        _root = subR;
    else if (parent == ppnode->_left)
        ppnode->_left = subR;
    else
        ppnode->_right = subR;
}

4.红黑树的验证

我们可以根据红黑树的性质来验证我们写的红黑树代码是否有问题。红黑树的性质主要只有三个：①根节点是黑色。②没有连续的红节点。③每条路径上的黑色节点数量相同。
判断根节点颜色和找出最左侧路径的黑色节点个数：

bool IsRBT()
{
    // 判断根节点是否是黑色
	if (_root && _root->_col == RED)
	return false;

    // 计算最左路径的黑色节点数量
	int refBlackNum = 0;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
	if(cur->_col == BLACK)
	refBlackNum++;

	cur = cur->_left;
	}

    // 检查红黑树的性质
	return Check(_root, 0, refBlackNum);
}

所有路径的黑色节点数量与最左侧路径比较，顺便找连续的两个红色节点：

// 检查红黑树的性质
bool Check(Node* cur, int blackNum, int refBlackNum)
{
	if (cur == nullptr)
	{
        // 存在某条路径上黑色节点数量与最左路径的黑色节点数量不相等
		if (refBlackNum != blackNum)
		{
			std::cout << "黑色节点的数量不相等" << std::endl;
			return false;
		}

		return true;
	}

    // 存在连续的红色节点
	if (cur->_col == RED && cur->_parent->_col == RED)
	{
        std::cout << cur->_kv.first << "存在连续的红色节点" << std::endl;
		return false;
	}

    // 该路径黑色节点数量+1
	if (cur->_col == BLACK)
	++blackNum;

    // 递归子树
	return Check(cur->_left, blackNum, refBlackNum)
	&& Check(cur->_right, blackNum, refBlackNum);
}

中序遍历：

void _InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	return;

	_InOrder(root->_left);
	std::cout << root->_kv.first << std::endl;
	_InOrder(root->_right);
}

void InOrder()
{
	_InOrder(_root);
}

5.完整代码+结果演示

RBTree.h：

#pragma once

#include <iostream>
// 枚举颜色
enum Color
{
    RED,
    BLACK
};

template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
    RBTreeNode* _left;
    RBTreeNode* _right;
    RBTreeNode* _parent;
    std::pair<K, V> _kv;
    // 颜色
    Color _col;

    RBTreeNode(const std::pair<K, V>& kv)
        :_left(nullptr)
        ,_right(nullptr)
        ,_parent(nullptr)
        ,_kv(kv)
        ,_col(RED)
    {}
};

template<class K, class V>
class RBTree
{
    typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
    bool Insert(const std::pair<K, V>& kv)
    {
        // 空树则创建根节点
        if (_root == nullptr)
        {
            _root = new Node(kv);
            // 红黑树的根节点是黑色的
            _root->_col = BLACK;
            return true;
        }
        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        // 找到新节点应该插入的位置
        while (cur)
        {
            // 比父节点小， 往左子树找
            if (kv.first < cur->_kv.first)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }
            // 比父节点大， 往右子树找
            else if (kv.first > cur->_kv.first)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }
            else
            {
                // 已经存在该值， 插入失败
                return false;
            }
        }
        cur = new Node(kv);

        // 父节点指向新节点
        if (kv.first < parent->_kv.first)
            parent->_left = cur;
        else
            parent->_right = cur;

        // 新节点指向父节点
        cur->_parent = parent;

        // 修正祖先的颜色
        while (parent && parent->_col == RED)
        {
            // 爷爷节点
            Node* grandfather = parent->_parent;
            if (parent == grandfather->_left)
            {
                // 叔叔节点
                Node* uncle = grandfather->_right;
                // 叔叔节点存在且为红色
                if (uncle && uncle->_col == RED)
                {
                    // 父节点变黑， 叔叔节点变黑， 爷爷节点变红
                    parent->_col = uncle->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;
                    
                    // 继续往上修正
                    cur = grandfather;
                    parent = cur->_parent;
                }
                // 叔叔节点不存在或为黑色
                else
                {
                    // 左左
                    if (cur == parent->_left)
                    {
                        // 右单旋 + 修正颜色
                        RotateR(grandfather);
                        parent->_col = BLACK;
                        grandfather->_col = RED;
                    }
                    // 左右
                    else
                    {
                        // 左单旋父节点
                        RotateL(parent);
                        // 右单旋爷爷节点
                        RotateR(grandfather);

                        // 修正颜色
                        cur->_col = BLACK;
                        grandfather->_col = RED;
                    }
                    break;
                }
            }
            else
            {
                // 叔叔节点
                Node* uncle = grandfather->_left;
                // 叔叔节点存在且为红色
                if (uncle && uncle->_col == RED)
                {
                    // 父节点变黑， 叔叔节点变黑， 爷爷节点变红
                    parent->_col = uncle->_col = BLACK;
                    grandfather->_col = RED;

                    // 继续往上修正
                    cur = grandfather;
                    parent = cur->_parent;
                }
                // 叔叔节点不存在或为黑色
                else
                {
                    // 右右
                    if (cur == parent->_right)
                    {
                        // 左单旋 + 修正颜色
                        RotateL(grandfather);
                        parent->_col = BLACK;
                        grandfather->_col = RED;
                    }
                    // 右左
                    else
                    {
                        // 右单旋父节点
                        RotateR(parent);
                        // 左单旋爷爷节点
                        RotateL(grandfather);

                        // 修正颜色
                        cur->_col = BLACK;
                        grandfather->_col = RED;
                    }
                    break;
                }
            }
        }
        // 保证根节点是黑色的
        _root->_col = BLACK;

        // 插入成功
        return true;
    }

    // 左左 --- 右单旋
    void RotateR(Node* parent)
    {
        // 父节点的左孩子
        Node* subL = parent->_left;
        // 父节点的左孩子的右孩子
        Node* subLR = subL->_right;
        // 父节点的父节点
        Node* ppnode = parent->_parent;

        // 修改父节点的指向
        parent->_left = subLR;
        parent->_parent = subL;

        // 修改父节点的左孩子的指向
        subL->_right = parent;
        subL->_parent = ppnode;

        // 如果父节点的左孩子的右孩子存在，则修改其指向
        if (subLR)
            subLR->_parent = parent;

        // 修改父节点的父节点的指向
        if (parent == _root)
            _root = subL;
        else if (parent == ppnode->_left)
            ppnode->_left = subL;
        else
            ppnode->_right = subL;
    }

    // 右右 --- 左单旋
    void RotateL(Node* parent)
    {
        // 父节点的右孩子
        Node* subR = parent->_right;
        // 父节点的右孩子的左孩子
        Node* subRL = subR->_left;
        // 父节点的父节点
        Node* ppnode = parent->_parent;

        // 修改父节点的指向
        parent->_right = subRL;
        parent->_parent = subR;

        // 修改父节点的右孩子的指向
        subR->_left = parent;
        subR->_parent = ppnode;

        // 如果父节点的右孩子的左孩子存在，则修改其指向
        if (subRL)
            subRL->_parent = parent;

        // 修改父节点的父节点的指向
        if (parent == _root)
            _root = subR;
        else if (parent == ppnode->_left)
            ppnode->_left = subR;
        else
            ppnode->_right = subR;
    }

    // 中序遍历
    void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left);
		std::cout << root->_kv.first << std::endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}

    // 检查红黑树的性质
    bool Check(Node* cur, int blackNum, int refBlackNum)
	{
		if (cur == nullptr)
		{
            // 存在某条路径上黑色节点数量与最左路径的黑色节点数量不相等
			if (refBlackNum != blackNum)
			{
				std::cout << "黑色节点的数量不相等" << std::endl;
				return false;
			}

			return true;
		}

        // 存在连续的红色节点
		if (cur->_col == RED && cur->_parent->_col == RED)
		{
            std::cout << cur->_kv.first << "存在连续的红色节点" << std::endl;
			return false;
		}

        // 该路径黑色节点数量+1
		if (cur->_col == BLACK)
			++blackNum;
		
        // 递归子树
		return Check(cur->_left, blackNum, refBlackNum)
			&& Check(cur->_right, blackNum, refBlackNum);
	}

    bool IsRBT()
	{
        // 判断根节点是否是黑色
		if (_root && _root->_col == RED)
			return false;

        // 计算最左路径的黑色节点数量
		int refBlackNum = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if(cur->_col == BLACK)
				refBlackNum++;

			cur = cur->_left;
		}

        // 检查红黑树的性质
		return Check(_root, 0, refBlackNum);
	}
private:
    Node* _root = nullptr;
};

void TestRBTree1()
{
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14,16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	RBTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert(std::make_pair(e, e));
	}

	t.InOrder();
	std::cout << t.IsRBT() << std::endl;
}

test.cpp：

#include "RBTree.h"
#include <iostream>

int main()
{
	TestRBTree1();
	return 0;
}

结果演示：
在这里插入图片描述

6.红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O( l o g 2 N log_2 N log2​N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。总而言之：红黑树插入效率更高，AVL树查找效率更高。

未完待续

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