第一章 函数、极限和连续

高等数学辅导讲义

1.

复盘：(x+sinxcosx)(x-sixcosx)，前者可以带入cosx=1，而后者不能带入，为何？

2.

复盘：

这道题很明显an≤1，对于直接求极限，可以考虑夹逼，求出另一端an≥1，即可得到极限

对于多项连乘，一般考虑取对数或者夹逼。

3.

复盘：

对于无穷减无穷，基本的想法就是通分，合并为一项。但是这道题显然不便于通分，那么就要首先考虑统一形式。

首先可以猜想这道题使用定义求解，那么第一项就应该提一个n到求和里，外面只剩一个1/n。

第二项改变应该和第一项看齐，那么保留一个1/n，lnn不会影响到求和，就还剩下n+1/2，如果从1加到n，很容易想到是∑k/n（也可以对应前一项的形式，lnn已经确定，那么还剩下k/n格式没有对齐）。

然后根据定义求解即可。

这道题的难点在于两项格式的统一。

4.

复盘：

对于极限的证明和求解，可以先悄悄算出极限，判断极限是否容易得到，再决定方法。

这道题算得极限为1+根号二，一个很抽象的数字，所以应该考虑反证。（而且从给出的表达式也很难找到规律。）

这道题反证难点在于压缩因子的提取，但也不是无迹可寻。

首先可以知道xn≥2.

要提取压缩因子，肯定要消去常数项，并且两项相减的格式应该一致，所以考虑将a化成2+1/a，此时很凑巧的发现2+1/a=a，那么就可以消去2，进行通分。

最后适当的将分母化成确定的压缩因子，然后进行压缩，就大功告成了。

5.

复盘：

第一步，这是一个数列结合函数的题目。那么可以根据函数的单调性判断数列是否单调。

这里可以得到f(x)单调增，那么数列单调。

然后只要证明数列有界，就可以证明极限存在。

要证明有界，就应该从|xn|起证，考虑拉格朗日中值定理或者牛顿莱布尼兹公式。这里牛顿莱布尼兹公式更加合理，因为可以放缩积分区间，消去x0和xn-1，然后适当放大即可求出。

6.

复盘：

这道题首先可以看出xn>0，即数列有下界。那么优先证明数列单调递减，作差、做比都可。

求极限的时候，因为使用瞪眼法直接算出的a=0，不一定唯一，所以需要加以验证。

7.

复盘：

首先这道题是无穷减无穷等于常数，那么应该抵消x，很容易得出mn=1（这是最关键的一步）。

得到mn=1后，提出x，就可以将两项合并为一项进行处理得到答案了。

8.

复盘：

本题有ξ这种变量，却不存在导数，可以考虑用介值定理或者零点定理进行证明。

但是fx非负连续，那么fx连乘也不可能小于0，就不能使用零点定理。

如果用介值定理，首先构造闭区间（即取出数列中的最小值和最大值），然后取出该区间fx的最小值m和最大值M，刚好可以证明所求式子介于m和M之间，得证。

10.

复盘：

对于特殊变量ξ，一般都是将其转换为x，再将要求解的式子构造出新的函数。

构造好F(x)=f(x)+x。由给出的条件，可以发现x->oo时，F(x)/x>0.也就是说，存在X>0，x>X时，该式子大于零。然后很巧妙的发现在对称轴的两端F(x)一正一负，可以使用零点定理求证。

11.

复盘：

对于这种多变量的式子，一般取一个为x，另一个保持原样。

这样就可以构造出函数F(x)=f(x+l)-f(x)，x∈[0,1-l]

带入两端，可以发现两端符号相异，考虑零点定理求证。

12.

复盘：

这道题和上一道不一样的是l改成了具体的数字1/4。

如果简单的带入两端并不能得出答案，根本原因是得不到两端相异。

那么一般就是考虑递推来得到矛盾。

反证，假设F(x)娶不到零点，设F(x)>0,得到f(x+1/4)>f(x)，然后递推得到矛盾。

严选题

1.

复盘：

这道题其实我一开始想到了分母除以n的平方，但是没有往下去做。如果真的做下去就会发现可以把分子的两端收起来，假定分子一样。也算是积累思路。

2.

复盘：

这道题我想到了要提压缩因子，但是没想到可以直接提出(xn+1)(根号二+1)，太大胆了。

但仔细观察不难发现，xn+1≥2，根号二+1≥2，这样就能提出2。

3.

复盘：

这道题n是有限的，而x是无限的。将每一个乘式分开，依次求极限即可。

第二章 一元函数微分学

高等数学辅导讲义

1.

复盘：

对于x作为分母的情况，要考虑x≠0.可以将F(x)写为分段函数，然后证明F(x)在零点连续。

2.

复盘：

其实我已经想到了f(c)=c/a。但是没有想到构造函数F(x)=f(x)=x/a。对于这种特殊取值，还是最好证明一下。

严选题

1.

复盘：

对于不太好求得二阶导，可以直接使用公式

2.

复盘：

这道题首先需要根据要证明的式子推测出原型F(x)。对于两个变量，应该取一个为x，另一个不变，这道题η不变。那么根据条件，得出f(c)=f(η)，进而推出F(c)=F(η)=0，根据罗尔定理得证。

第三章 一元函数积分学

高等数学辅导讲义

1.

复盘：

这道题首先根据下面的公式进行拆解，然后把括号分开，左边部分可以直接带入公式。

右边部分上下同除以x的平方，通过x+1/x和x-1/x进行配方求解。

2.

复盘：

这道题直接分母有理化即可求解。

3.

复盘：

这道题需要分类讨论，先求出a=0以及b=0时的情况。在都不为0时，提出cosx的平方，可以收为dtanx，此题就迎刃而解了。

4.

复盘：

这道题n趋于无穷，但x属于[0,1]。可以考虑广义积分中值定理，将可以确定的根号项(1+x平方)放出去，因为该项是有界量，而x的n次方积分是无穷小量，则可以求解。

5.

复盘：

这道题关键在于对条件f(x)-f(x-π)=sinx的分析，如果能顺利构造出F(x)，那么本题就不存在难点了。

6.

复盘：

这道题很明显，如果能消去x，分子分母同乘以e的x次方，可以直接使用公式求得积分。那么问题就转化为怎么消去x。利用区间再现，正好可以消去x。

7.

复盘：

这道题看到arctanx，就应该想到两个对应的公式。同样利用区间再现，就可以消去arctane的x次方，从而得解。

8.

复盘：

求开区间的最大值，可以转换为求唯一极值，对F(x)求导，得到驻点。可以发现x=kπ时，F`(x)符号并不改变，则不存在极值，那么x=1就是唯一极值，即最大值。

9.

复盘：

这道题直接拆分右式，合并同类项，使用积分中值定理，正好可以消去a(1-a)，得解。

10.

复盘：

左、右式差了两阶，需要逐步求解。

11.

复盘：

这道题出现常数1/4，可以推测会出现1/2的积分，将dx改造为d(x-1/2)求解即可。

严选题

1.

复盘：

这道题首先需要将e的-x化为e的x，然后就可以解决了。不然的话，分部积分那里求不出来。

此外，1/ex+1求积分，可以上下同除以ex，就可以求积分了。

我认为这是一个熟练度和敏感度的区别。

2.

复盘：

这道题上下式子次方差超过了1，应该考虑取倒数求解。

此外，上下次方差超过1，也可以考虑同时除以低次方。

3.

复盘：

这道题很明显，需要求解的式子是可以计算出来的，对于这种应该直接计算出来，然后求其最小值，不然就会雾里看花，算不明白。

4.

复盘：

这道题居然利用了一阶导数在闭区间上连续具有最小值、最大值的定理，挺意外的，一般都是f(x)在闭区间上的性质吧。

不过仔细分析，又不是完全没有依据。比如出现f(0)=0，肯定就是考虑拉格朗日中值定理，与一阶导数联系起来。题目又给出了一阶导数在闭区间上连续，也是可以想到介值定理的。

但是这道题我猜到了要引入一个x在0到1上的积分，也是一个进步。

第四章 常微分方程

高等数学辅导讲义

1.

复盘：

这道题如果按照dy/dx求积分，很难分离变量，转换为dx/dy则迎刃而解。

2.

复盘：

这道题通解是直接可以表示出来的，不应该拘泥于形式。

消去C1、C2，就可以得到原式。

严选题

1.

复盘：

这道题分离变量很困难，考虑叫x`和y`对调求解。

2.

复盘：

这道题可以先令t=x2+y2，这样就可以转换为求z的表达式，而x和y只是链式求导的一部分。

3.

复盘：

这道题求导以后，可以用原式代替复杂的那部分。

求微分方程的时候，可以同时除以f(x)的平方，然后用u做整体代换。

4.

复盘：

这道题难点在于同时除以x，然后用u=y/x做计算。

5.

复盘：

这道题左半部分求解，应该带入（0,0），分离变量求微分方程。

右半部分是非齐次常系数微分方程，求解。

第五章 多元函数微分学

高等数学辅导讲义

1.

复盘：

这道题，有两个难点。

①确定u是仅关于r的函数，r可以用根号（x2+y2）表示。

②求解微分方程的时候，看出来可以直接收起来。

2.

复盘：

这道题主要根据微分方程形式的不变性求解。

由于f、F都是可导的，那么y的可微形式就可以写出来。根据隐函数求导，可以找到dt，从而求得dy/dx。

3.

复盘：

这道题需要将y看做x、y的函数，通过隐函数求导得出z对于x和y的偏导。

严选题

1.

复盘：

这道题的难点在于条件极值在计算时，使用行列式进行计算。

第六章 二重积分

高等数学辅导讲义

1.

复盘：

这道题应该按照定义得出f(x2-y)的表达式，然后乘以f(x)相应表达式，将全平面划分为对应的区域求解。

2.

复盘：

这道题是直接交换x和y，然后拼凑了一个0≤x≤1，0≤y≤1的区域进行求解。

3.

复盘：

这道题从左边化到右边，分步积分。

4.

复盘：

这道题首先需要交换积分秩序，否则直接洛必达分子直接为0了。

5.

复盘：

这道题很明显是用分部积分。难点在于先对y求导，然后交换积分秩序，再对x求导。

严选题

1.

复盘：

这道题可以根据积分区间的对称性消去一些积分。

2.

复盘：

这道题首先交换了积分，然后很巧妙的把关于y的积分求了出来。

3.

复盘：

这道题难点在第二问，将(xy)f(x,y)转换为(xy-1)f(x,y)。

4.

复盘：

这道题的难度在于统一积分区间（0≤x≤1,0≤y≤1）

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至此，高数（高数辅导讲义+严选题）一轮错题复盘结束。

祝各位一战成硕！