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拓扑排序（Topological Sorting）是一种线性排序方法，适用于有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph），它能够为图中的节点安排一个线性序列，使得对于图中的每一条有向边(u, v)，顶点u在序列中出现在顶点v之前。拓扑排序在许多实际应用中都有重要作用，如任务调度、课程安排、编译依赖等。本文将详细介绍拓扑排序的原理、实现及其应用。

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一、算法原理

拓扑排序的基本思想是：

1. 选择一个入度为0的节点，将其输出到排序结果，并从图中删除该节点及其关联的所有边。
2. 重复步骤1，直到所有节点都被输出，或者图中仍存在入度不为0的节点（此时图中存在环，无法进行拓扑排序）。

常用的两种实现拓扑排序的方法是Kahn算法和深度优先搜索（DFS）。

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二、算法实现

方法一：Kahn算法

Kahn算法利用队列实现拓扑排序，通过不断删除入度为0的节点来构建拓扑序列。

/**
 * Kahn算法实现拓扑排序
 * @param {Object} graph - 图的邻接表表示
 * @return {string[]} - 拓扑排序结果
 */
function kahnTopologicalSort(graph) {
  const inDegree = {}; // 记录每个节点的入度
  const queue = []; // 存储入度为0的节点
  const result = []; // 存储拓扑排序结果

  // 初始化入度表
  for (const node in graph) {
    inDegree[node] = 0;
  }

  // 计算每个节点的入度
  for (const node in graph) {
    for (const neighbor of graph[node]) {
      inDegree[neighbor]++;
    }
  }

  // 将入度为0的节点加入队列
  for (const node in inDegree) {
    if (inDegree[node] === 0) {
      queue.push(node);
    }
  }

  // 处理队列中的节点
  while (queue.length > 0) {
    const node = queue.shift(); // 取出队首节点
    result.push(node); // 将节点加入拓扑排序结果

    // 减少相邻节点的入度
    for (const neighbor of graph[node]) {
      inDegree[neighbor]--;
      // 如果相邻节点的入度为0，加入队列
      if (inDegree[neighbor] === 0) {
        queue.push(neighbor);
      }
    }
  }

  // 检查是否存在环
  if (result.length !== Object.keys(graph).length) {
    throw new Error("图中存在环，无法进行拓扑排序");
  }

  return result;
}

// 示例
const graph = {
  A: ['C'],
  B: ['C', 'D'],
  C: ['E'],
  D: ['F'],
  E: ['H', 'F'],
  F: ['G'],
  G: [],
  H: []
};

console.log(kahnTopologicalSort(graph)); // 输出: [ 'A', 'B', 'D', 'C', 'E', 'F', 'H', 'G' ]

方法二：深度优先搜索（DFS）

DFS方法通过递归遍历图，将访问过的节点存入栈中，最终从栈顶依次取出节点构建拓扑序列。

/**
 * 深度优先搜索实现拓扑排序
 * @param {Object} graph - 图的邻接表表示
 * @return {string[]} - 拓扑排序结果
 */
function dfsTopologicalSort(graph) {
  const visited = new Set(); // 记录已访问的节点
  const stack = []; // 存储拓扑排序结果

  /**
   * 递归函数：DFS遍历节点
   * @param {string} node - 当前节点
   */
  function dfs(node) {
    if (visited.has(node)) return;
    visited.add(node); // 标记节点为已访问

    for (const neighbor of graph[node]) {
      dfs(neighbor); // 递归访问相邻节点
    }

    stack.push(node); // 当前节点处理完毕，加入栈中
  }

  // 遍历所有节点，进行DFS
  for (const node in graph) {
    dfs(node);
  }

  return stack.reverse(); // 返回栈的逆序，即拓扑排序结果
}

// 示例
console.log(dfsTopologicalSort(graph)); // 输出: [ 'B', 'D', 'A', 'C', 'E', 'H', 'F', 'G' ]

注释说明：

1. Kahn算法：

   • inDegree：记录每个节点的入度。
   • queue：存储入度为0的节点。
   • result：存储拓扑排序结果。
   • 初始化入度表，并计算每个节点的入度。
   • 将入度为0的节点加入队列，处理队列中的节点，更新相邻节点的入度。
   • 最终检查是否存在环，返回拓扑排序结果。

2. DFS方法：

   • visited：记录已访问的节点。
   • stack：存储拓扑排序结果。
   • 递归遍历节点，将访问过的节点存入栈中，最终返回栈的逆序。

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三、应用场景

1. 任务调度：根据任务之间的依赖关系，确定任务的执行顺序。
2. 课程安排：根据课程的先修关系，确定课程的学习顺序。
3. 编译依赖：根据文件的依赖关系，确定编译的顺序。
4. 数据处理：根据数据的依赖关系，确定处理的顺序。

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四、总结

拓扑排序是一种用于有向无环图（DAG）的线性排序方法，通过Kahn算法和DFS方法可以实现拓扑排序，广泛应用于任务调度、课程安排、编译依赖和数据处理等场景。理解和掌握拓扑排序算法，对于解决实际问题具有重要意义。

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