点估计的评价标准包括： 相合性， 无偏性， 有效性。
一. 相合性
衡量一个估计是否可行的必要条件， 就是估计的相合性。
本文不提其定义了。直接给出一些结论。
结论
设有正态总体N(
μ
,
σ
2
\mu, \sigma^2
μ,σ2) 的样本， 则有
- x ‾ \overline x x 是 μ \mu μ 的相合估计。
- 样本二阶中心矩 s n 2 = s_n^2 = sn2= 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ‾ ) \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline x) n1i=1∑n(xi−x) 是 σ 2 \sigma^2 σ2的相合估计。
- 样本方差 s 2 s^2 s2 也是 σ 2 \sigma^2 σ2的相合估计。
设有均匀总体U(0, θ \theta θ)的样本， θ \theta θ 的极大似然估计是相合估计。
二. 无偏性
2.1 定义
设
θ
^
=
θ
^
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
\hat\theta=\hat\theta(x_1, ..., x_n)
θ^=θ^(x1,...,xn) 是
θ
\theta
θ的一个估计，
θ
\theta
θ 的参数空间为
Θ
\Theta
Θ, 若对任意的
θ
∈
Θ
\theta \in \Theta
θ∈Θ, 有
则称 θ ^ \hat\theta θ^ 是 θ \theta θ 的无偏估计， 否则称为有偏估计。
~~
无偏性要求可以改写为 E ( θ ^ − θ ) = 0 E(\hat\theta - \theta) = 0 E(θ^−θ)=0, 这表示无偏估计没有系统偏差。
无偏性不具有不变性。 若
θ
^
\hat\theta
θ^ 是
θ
\theta
θ 的无偏估计，一般而言g
(
θ
^
)
(\hat\theta)
(θ^)不是g
(
θ
)
(\theta)
(θ)的无偏估计， 除非g
(
θ
)
(\theta)
(θ)是
θ
\theta
θ的线性函数。
例如： 样本方差
s
2
s^2
s2是
σ
2
\sigma^2
σ2的无偏估计， 但 s 不是
σ
\sigma
σ的无偏估计。
看例题
三. 有效性
所谓 有效性， 是建立在无偏估计的基础上
定义： 设
θ
^
1
\hat\theta_1
θ^1,
θ
^
2
\hat\theta_2
θ^2 是
θ
\theta
θ 的两个无偏估计， 如果对任意的
θ
∈
Θ
\theta \in \Theta
θ∈Θ 有
且至少有一个 θ ∈ Θ \theta\in\Theta θ∈Θ 使得上述不等号严格成立， 则称 θ ^ 1 \hat\theta_1 θ^1 比 θ ^ 2 \hat\theta_2 θ^2 有效。
