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📜图模型用例

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🍇Python最大后验

在贝叶斯统计中，最大后验概率估计是未知量的估计，等于后验分布的众数。最大后验概率可用于根据经验数据获得未观测量的点估计。它与最大似然估计方法密切相关，但采用增强优化目标，该目标将先验分布（量化通过对相关事件的先验知识获得的额外信息）与想要估计的数量相结合。因此，最大后验概率估计可以看作是最大似然估计的正则化。

假设我们要根据观测值 $x$ 来估计未观测到的总体参数 $\theta$。令$f$为$x$的抽样分布，因此$f(x\mid \theta )$是当基础总体参数为$\theta$时$x$的概率。然后函数：
$$\theta \mapsto f(x\mid \theta )$$
称为似然函数，估计为：
$${\hat{\theta }}_{MLE}(x)=\arg \max f(x\mid \theta )$$
是 $\theta$ 的最大似然估计。

现在假设存在 $\theta$ 上的先验分布 $g$。这允许我们将 $\theta$ 视为贝叶斯统计中的随机变量。我们可以使用贝叶斯定理计算 $\theta$ 的后验分布：
$$\theta \mapsto f(\theta \mid x)=\frac{f(x\mid \theta )g(\theta )}{{\int }_{\Theta }f(x\mid \vartheta )g(\vartheta )d\vartheta }$$
其中$g$是$\theta$的密度函数，$\Theta$是$g$​的定义域。

然后，最大后验估计方法将 $\theta$ 估计为该随机变量的后验分布众数：
$$\begin{array}{rl}{\hat{\theta }}_{\text{MAP }}(x)& =\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}f(\theta \mid x)\\ & =\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\frac{f(x\mid \theta )g(\theta )}{{\int }_{\Theta }f(x\mid \vartheta )g(\vartheta )d\vartheta }\\ & =\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}f(x\mid \theta )g(\theta ).\end{array}$$

后验分布的分母（所谓的边际似然）始终为正，并且不依赖于 $\theta$，因此在优化中不起作用。观察到，当先验 $g$ 均匀时（即 $g$ 是常数函数），$\theta$ 的最大后验概率估计与最大似然估计一致。

我们可以使用任何优化技术，可能是微积分，最好是梯度上升，以计算参数的最优值，该最优值将最大化后验，即 $\theta$​​参数现在也将伴随先验置信和似然性，并且会比 最大似然估计更好。

为了继续执行最大后验概率代码，我们将以给定相关数据点的帕累托分布为例，然后通过最大化后验概率来估计参数的最佳值，其中似然函数是帕累托，先验函数是正态分布，即 $g(\alpha )$，因此解$\alpha$ 上的 argmax 可以最大化后验概率

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import fmin
from scipy.stats import norm

data = np.array([
    1.677, 3.812, 1.463, 2.641, 1.256, 1.678, 1.157, 1.146, 1.323, 1.029,
    1.238, 1.018, 1.171, 1.123, 1.074, 1.652, 1.873, 1.314, 1.309, 3.325,
    1.045, 2.271, 1.305, 1.277, 1.114, 1.391, 3.728, 1.405, 1.054, 2.789,
    1.019, 1.218, 1.033, 1.362, 1.058, 2.037, 1.171, 1.457, 1.518, 1.117,
    1.153, 2.257, 1.022, 1.839, 1.706, 1.139, 1.501, 1.238, 2.53, 1.414,
    1.064, 1.097, 1.261, 1.784, 1.196, 1.169, 2.101, 1.132, 1.193, 1.239,
    1.514, 2.764, 1.853, 1.267, 1.015, 1.789, 1.099, 1.253, 1.418, 1.494,
    4.015, 1.459, 2.175, 2.044, 1.551, 4.095, 1.396, 1.262, 1.351, 1.121,
    1.196, 1.391, 1.305, 1.141, 1.157, 1.155, 1.261, 1.048, 1.918, 1.889,
    1.068, 1.811, 1.198, 1.361, 1.261, 4.093, 2.925, 1.133, 1.573
])

def pareto_log_likelihood(alpha, data):
    if alpha <= 0:
        return -np.inf
    n = len(data)
    log_likelihood = n * np.log(alpha) - (alpha + 1) * np.sum(np.log(data))
    return log_likelihood

def log_prior(alpha):
    mean = 2.5
    std = 3
    log_prior_prob = norm.logpdf(alpha, loc=mean, scale=std)
    return log_prior_prob



initial_guess = 2
alpha_map = fmin(lambda alpha: -log_posterior(alpha, data), x0=[initial_guess], disp=False)[0]

print("MAP estimate for alpha:", alpha_map)

alpha_values = np.linspace(0.1, 10, 100)
log_posterior_values = [log_posterior(alpha, data) for alpha in alpha_values]

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(alpha_values, log_posterior_values, label='Log-Posterior (MAP) Function')
plt.axvline(alpha_map, color='r', linestyle='--', label=f'MAP estimate (α={alpha_map:.2f})')
plt.scatter([alpha_map], [log_posterior(alpha_map, data)], color='red')

plt.title('Log-Posterior (MAP) Function for Different α values')
plt.xlabel('α (Alpha)')
plt.ylabel('Log-Posterior')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

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