一篇文章带你读懂AVL树

news2024/12/26 9:19:49

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AVL树节点的定义

AVL树的插入 

 AVL树的旋转

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

2.新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

AVL树的验证

AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。

性质：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O(log2 n)--以2为底n的对数，搜索时间复杂度O(log2 n)。 

AVL树节点的定义

 template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
    AVLTreeNode<K, V>* _left;        // 该节点的左孩子
    AVLTreeNode<K, V>* _right;     // 该节点的右孩子
    AVLTreeNode<K, V>* _parent;  // 该节点的双亲
    pair<K, V> _kv;

    int _bf;                                      //balance factor  右子树高度-左子树高度

    AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)

    :_left(nullptr)

    , _right(nullptr)

    , _parent(nullptr)

    , _bf(0)

    , _kv(kv)

    {}

};

AVL树的插入 

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点

2. 调整节点的平衡因子

更新平衡因子的五种情况：

1.cur==parent->left parent->bf--
 2.cur==parent->right parent->bf++
 3.更新以后，parent->bf==0,更新结束。（说明更新前parent->bf是 1 或者 -1，现在变成0，矮的那一边被填上了，parent所在子树高度不变）
 4.更新以后，parent->bf==1/-1,继续向上更新。（说明更新前parent->bf是0，现在变成 1 或者 -1，有一边子树变高了，parent所在子树高度改变，需要继续向上更新）
 5.更新以后，parent->bf==2/-2,parent所在子树已经不平衡，需要旋转处理。 

bool Insert(const pair<K,V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		//插入节点
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		//控制平衡
		while (parent)
		{
			// 更新双亲的平衡因子
			if (cur == parent->_left)
				parent->_bf--;
			else
				parent->_bf++;

			// 更新后检测双亲的平衡因子
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以parent为根的树进行旋转处理
				
				if (parent->_bf == -2 || cur->_bf == -1)//右单旋
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 || cur->_bf == 1)//左单旋
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 || cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 || cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				//插入更新平衡因子之前，树中平衡因子就有问题了
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

 上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，  即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：  

1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在  。

2. 60可能是根节点，也可能是子树。如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点；如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树 。

图解：

void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
         // 如果左孩子的右孩子存在，更新双亲
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

        因为更新的可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存该节点的双亲
		Node* parentParent = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		
        //如果旋转的是根节点，更新指向根节点的指针
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
         // 如果更新的是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
			if (parentParent->_left == parent)
				parentParent->_left = subL;
			else
				parentParent->_right = subL;

			subL->_parent = parentParent;
		}

		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

2.新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* parentParent = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
				parentParent->_left = subR;
			else
				parentParent->_right = subR;

			subR->_parent = parentParent;
		}

		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再 考虑平衡因子的更新。 

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
void _RotateLR(PNode pParent)
{
 PNode pSubL = pParent->_pLeft;
 PNode pSubLR = pSubL->_pRight;
    
    // 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节
点的平衡因子
 int bf = pSubLR->_bf;
    
    // 先对30进行左单旋
 _RotateL(pParent->_pLeft);
    
    // 再对90进行右单旋
 _RotateR(pParent);
 if(1 == bf)
     pSubL->_bf = -1;
 else if(-1 == bf)
     pParent->_bf = 1;
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

 

假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑：

1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为pSubR 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为pSubL 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(parent->right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树

        如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

  • 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
  • 节点的平衡因子是否计算正确

 

int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
{
 // 空树也是AVL树
 if (nullptr == pRoot) 
    return true;
    
 // 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
 int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
 int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
 int diff = rightHeight - leftHeight;

// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
 // pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
 if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
     return false;
 // pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
 return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot-
>_pRight);
 }

AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这 样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2 (N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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