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所属专栏：数据结构（Java版）

目录

树型结构

树的概念 

与树的有关概念

树的表示形式 

树的应用 

二叉树 

概念

两种特殊的二叉树  

二叉树的性质

有关二叉树的性质的练习 

二叉树的存储

二叉树的遍历

二叉树遍历的练习

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树型结构

树的概念 

在正式学习二叉树之前，我们先来了解一下：数据结构中什么是树型结构。我们前面学习的顺序表、链表、栈、队列这些都是线性结构的。

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

左边是大自然中正常的树，右边是数据结构中的树。 

数据结构中的树具有以下的特点：

1、有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。

2、除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。总结就是一句话：子树与子树之间不能有相交的部分，相交了就不能称之为树了。

3、树是递归定义的。

4、除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点。

5、一棵N个结点的树有N-1条边。

与树的有关概念

重点掌握：

结点的度：一个结点所含的子树的个数，也就是一个节点多少条边。

树的度：因为树有多个结点，因此树结点就是整个树中  所有 结点的度 的最大值。

叶子结点或终端结点：度为0的点，也就是没有边的点。

双亲结点或父结点：若一个结点A含有子结点B，则称该节点A为父结点。

孩子结点或子结点：若一个结点A含有子结点B，则称该节点B为子结点。

根结点：一棵树中，没有 双亲结点 的 结点，就是最上面的那个结点。

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。

树的高度或深度：树中结点的最大层次，其实就是从根节点到叶子结点之间的最大值。

了解即可：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点。

兄弟结点：具有相同 父结点 的 结点 互称 为兄弟结点。

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点，它们的子结点 互为 堂兄结点。

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点，都称为该结点的祖先。

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。

森林：只要是能构成树的结点，就可以称为森林。例如：一颗树有一个节点，那么构成这棵树的这个结点也可以称为森林。

树的表示形式 

树的结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。 顾名思义：这个节点中可以储存其孩子和兄弟：

class Node {
    int value; // 树中存储的数据
    Node firstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

如下图所示： 

树的应用 

我们电脑的磁盘目录就是用的树这种数据结构。

二叉树 

概念

二叉树是 结点的 一个有限集合，该集合： 1. 要么为空，即没有一个节点 2. 要么是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。就像下面这样：

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点。（结点的度是指一个结点所含的边的条数，也就是子树的个数）

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。 

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

两种特殊的二叉树  

满二叉树：一棵二叉树每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k -1，则它就是满二叉树。例：

当然这里可能会有一个误区：有小伙伴可能会认为：只要一棵二叉树 只存在度为0 和 度为2 的结点，那么这棵树就是满二叉树。这个观点是不正确的。如下图所示：

完全二叉树：一棵二叉树的所有结点都是从上到下、从左到右依次存在的，这样的二叉树就被称为完全二叉树。例： 

注意：满二叉树也是一种完全二叉树。因为满二叉树也满足完全二叉树的定义。 

二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1) (i>0)个结点。例：

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1（也就是说根是第1层），则深度为K的二叉树的最大结点数是 (2^k) - 1(k>=0) 。这里求的总的结点个数，也可以通过上图看出。其实也就是一个等比数列的求和问题。

3. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2 (N+1)（log以2为底，N+1的对数) 向上取整。这个公式就是根据 第2点 反推出来的。下面会有例子证明这个向上取整的意思。

4. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

若 i > 0，双亲（父亲结点）序号：(i-1)/2；i=0，i 为根结点编号，无双亲结点。

若2i+1 < n，则左孩子序号为：2i + 1；2i+1 >= n，则无左孩子。

若2i+2 < n，则右孩子序号为：2i + 2；2i+2 >= n，则无右孩子。

例如：

5. 对于任意一棵二叉树，如果其叶子节点的个数为 n0，度为2的节点个数为 n2 ，则n0 = n2 + 1。即：度为0的结点的个数（叶子结点） 等于 度为2的结点的个数+1 

推导过程如下：

有关二叉树的性质的练习 

1.某二叉树共有399个结点，其中有199个度为2的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）
A 不存在这样的二叉树  B 200  C 198  D 199

答案：B

解析：根据前面的结论：叶子结点的个数比度为2的结点的个数多1，可知为200，选B

2.在具有2n个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（) 
A n个  B (n+1)个  C (n-1)个  D (n/2)个

答案：A

解析：图解法：

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（)
A 383个  B 384个  C 385个  D 386个

答案：B

解析：由上图可知，叶子结点的个数为 (767+1) / 2 = 384。选B。

4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（）
A.11  B.10  C.8  D.12

答案：B

解析：log2 (531+1) > log2 512 = 9，向上取整就是10.

二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

顺序存储在后面学习。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent; // 当前节点的根节点
}

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树。 

二叉树的遍历

二叉树有四种遍历方式：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。

前序遍历（先序遍历）：就是先遍历根结点，再遍历左子树，最后再遍历右子树。

中序遍历：就是先遍历左子树，再遍历根结点，最后再遍历右子树。

后序遍历：就是先遍历左子树，再遍历右子树，最后再遍历根结点。

层序遍历：就是从上到下、从左到右依次遍历根结点。

根据上述概念，我们不难发现遍历根节点的顺序不同，遍历方式也就有了区别。

先遍历根结点就是前序遍历。不管是哪个遍历，一定是左子树在前，右子树在后。

二叉树遍历的练习

1、下面二叉树的四种遍历方式： 

先序遍历：根->左子树->右子树。打印结果：A->B->D->E->C->F->G 

中序遍历：左子树->根->右子树。打印结果：D->B->E->A->F->C->G

后序遍历：左子树->右子树->根。打印结果：D->E->B->F->G->C->A

层序遍历：从上到下、从左到右，依次打印根结点。打印结果：A->B->C->D->E->F->G

根据上面的遍历结果，我们也可以发现一些关于遍历的性质：

1、先序遍历一定会先打印整棵树的根结点，其次再是打印左子树的根节点，依次遍历下去。而后续遍历往往与其相反，最后才打印整棵树的根结点。

2、中序遍历的根结点一定是在中间的，通过后续遍历或者前序遍历确定了根结点之后，在根结点左边的就是根结点的左子树，在根结点右边的就是根结点的右子树。

有了上面这些性质，我们就可以更加迅速的把下面的题目给写完了。

2、某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()

A: ABDHECFG        B: ABCDEFGH        C: HDBEAFCG        D: HDEBFGCA

答案：A

解析：

由题意知：该树为完全二叉树，因此就可以确定该树的图形如上所示：
前序遍历：A->B->D->H->E->C->F->G

2、二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()

A: E        B: F       C: G       D: H

答案：A

解析：根据先序遍历可以确定整棵树的根结点，即E，又因为中序遍历已知根结点，可以确定整棵树的左子树和右子树，则这棵树的图形如下所示：

3、设一棵二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()

A: adbce         B: decab         C: debac         D: abcde

答案：D

解析：根据后序遍历可以确定整棵树的根结点，即a，又因为中序遍历已知根结点，可以确定整棵树的左子树和右子树，则这棵树的图形如下所示：

4、某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()

A: FEDCBA         B: CBAFED         C: DEFCBA         D: ABCDEF

答案：A

解析：根据后序遍历可以确定整棵树的根结点，即F，又因为中序遍历已知根结点，可以确定整棵树的左子树和右子树，则这棵树的图形如下所示：

好啦！本期 数据结构之初始二叉树（1）的学习之旅就到此结束啦！本期文章主要是了解一些概念与遍历的方式，下一期我们就会开始代码的练习了。我们下一期再一起学习吧！