【高中数学/指数、对数】已知a=e^0.03-1,b=3/103,c=ln1.03,则a、b、c的大小关系为？

【问题】

已知a=e^0.03-1,b=3/103,c=ln1.03,则a、b、c的大小关系为？

【解答】

这个问题比较令人挠头，其背后考察的其实是对y=e^x-1,y=x/1+x,y=ln(1+x)的图线的高度、位置、斜率的掌握程度。

首先我们可以将三个数变成函数式：

a=e^0.03-1,b=0.03/1+0.03,c=ln(1+0.03)

这样，自变量x=0.03就统一了，应变量y都是x的不同组合。

将y=e^x-1,y=x/1+x,y=ln(1+x)等绘制成图线如下：

通过图线可以看到，在第一象限，对于任何一个给定的y值，蓝线y=e^x-1最高，紫线y=ln(1+x)次之，红线y=x/(1+x)最低。

因此，结论就是e^0.03-1>ln1.03>3/103,即a>c>b

在考场上，观察三个表达式，归纳成正常函数式是第一步，能回忆起对数函数和指数函数图像是第二步，了解到y=x/x+1趋近于y=1,其斜率一直低于y=ln(1+x)是第三步。有了这三步知识储备就能解题。

【制作图像的Canvas代码】

<!DOCTYPE html>
<html lang="utf-8">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8"/>
<head>
     <title>UNASSIGNED</title>
     <style type="text/css">
     .centerlize{
        margin:0 auto;
        border:0px solid red;
        width:1200px;height:600px;
     }
     </style>
     </head>

     <body onload="draw();">
        <div class="centerlize">
            <canvas id="myCanvas" width="10px" height="10px" style="border:1px dashed black;">
                如果看到这段文字说您的浏览器尚不支持HTML5 Canvas，请更换浏览器再试.
            </canvas>
        </div>
     </body>
</html>
<script type="text/javascript">
<!--
/*****************************************************************
* 将全体代码拷贝下来，粘贴到文本编辑器中，另存为.html文件，
* 再用chrome浏览器打开，就能看到动画效果。
******************************************************************/

// 系统常量定义处
const TITLE="a=e^0.03-1,b=3除103，c=ln1.03比较大小";    // 图像标题
const WIDTH=1200;                    // 画布宽度
const HEIGHT=600;                    // 画布高度
const ScaleUnit=50;                // 缩放比例

// 系统变量定义处
var context=0;                        // 画布环境
var stage;                            // 舞台对象
var timeElapsed=0;                    // 动画运作的的时间
const TIME_END=100000;                // 动画运作的期限

//-------------------------------
// Canvas开始运作，由body_onload调用
//-------------------------------
function draw(){
    document.title=TITLE;

    // 画图前初始化
    var canvas=document.getElementById('myCanvas');    
    canvas.width=WIDTH;
    canvas.height=HEIGHT; 
    context=canvas.getContext('2d');  
    
    // 进行屏幕坐标系到笛卡尔坐标系的变换
    // 处置完成前，原点在左上角，向右为X正向，向下为Y的正向
    // 处置完毕后，原点移动到画布中央，向右为X正向，向上为Y的正向
    context.translate(WIDTH/2,HEIGHT/2);
    context.rotate(Math.PI);
    context.scale(-1,1);

    // 初始化舞台
    stage=new Stage();

    // 开始动画
    animate();
};

//-------------------------------
// 画图
//-------------------------------
function animate(){    
    timeElapsed+=1;// 时间每轮增加1

    stage.update(timeElapsed);
    stage.paintBg(context);
    stage.paint(context);

    if(timeElapsed<TIME_END){        
        window.requestAnimationFrame(animate);
    }
}

//-------------------------------
// 舞台对象定义处
//-------------------------------
function Stage(){
	// 内置对象(非必要勿更改)
    var obj=new Object;

	// 对象下的曲线数组(非必要勿更改)
	obj.curves=[];

	// 塞入曲线1(按需修改设定项)
	obj.curves.push({
        name:"曲线:y=e^x-1",
        xEnd:3,
        x:0,
        y:0,
        color:"blue",
        setY:function(x){
            this.y=Math.pow(Math.E,x)-1;// 解析式

            let coord={"x":x,"y":this.y};
			
			this.pts0.push(coord);	
        },
        "pts0":[],
    });

	// 塞入曲线2(按需修改设定项)
	obj.curves.push({
        name:"曲线:y=ln(1+x)",
        xEnd:6,
        x:0,
        y:0,
        color:"purple",
        setY:function(x){
            this.y=Math.log(1+x);// 解析式

            let coord={"x":x,"y":this.y};
			
			this.pts0.push(coord);	
        },
        "pts0":[],
    });

	// 塞入曲线3(按需修改设定项)
	obj.curves.push({
        name:"曲线:y=x/(1+x)",
        xEnd:6,
        x:0,
        y:0,
        color:"red",
        setY:function(x){
            this.y=x/(1+x);// 解析式

            let coord={"x":x,"y":this.y};
			
			this.pts0.push(coord);	
        },
        "pts0":[],
    });
		    
	// 随时间更新位置(非必要勿更改)
    obj.update=function(t){
		for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
			var curve=this.curves[i];

			if(curve.x<curve.xEnd){
				curve.x+=0.01;
				curve.setY(curve.x);
			}
		}
    };

    // 画前景
    obj.paint=function(ctx){  

		// 文字左上角位置(可手动修改设定值)
		const X_START=-430;	// 文字横起点
		const Y_START=225;	// 文字纵起点
		const OFFSET=50;	// 文字间隔
		// 遍历曲线数组(非必要勿更改)
		for(var i=0;i<this.curves.length;i++){
			var curve=this.curves[i];

			// 曲线名称
			drawText(ctx,curve.name,X_START,Y_START-i*OFFSET,curve.color,18);
			// 曲线当前点坐标
			drawText(ctx,"当前 X:"+curve.x.toFixed(3)+"  Y:"+curve.y.toFixed(3),X_START,Y_START-20-(i)*OFFSET,curve.color,18);
			
			// 绘制曲线
			if(curve.pts0){
				paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts0);
				
				// 绘制曲线分段1的高低点(可选)
				//var mm=findMaxMin(curve.pts0);
				//markMaxMin(ctx,mm,curve.color);
			}
			if(curve.pts1){
				paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts1);
				// 绘制曲线分段2的高低点(可选)
				//var mm=findMaxMin(curve.pts1);
				//markMaxMin(ctx,mm,curve.color);
			}
			if(curve.pts2){
				paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts2);
				// 绘制曲线分段3的高低点(可选)
				//var mm=findMaxMin(curve.pts2);
				//markMaxMin(ctx,mm,curve.color);
			}
			if(curve.pts3){
				paintCurve(ctx,curve.color,curve.pts3);
				// 绘制曲线分段4的高低点(可选)
				//var mm=findMaxMin(curve.pts3);
				//markMaxMin(ctx,mm,curve.color);
			}
		}
    };

    // 画背景(非必要不更改)
    obj.paintBg=function(ctx){
        // 清屏
        ctx.clearRect(-600,-300,1200,600);
        ctx.fillStyle="white";
        ctx.fillRect(-600,-300,1200,600);

        // 画X轴
        drawAxisX(ctx,-600,600,50);

        // 画Y轴
        drawAxisY(ctx,-300,300,50);

        // 画网格线
        drawGrid(ctx,-600,-300,50,1200,600,50);
        
        // 左上角标题
        var metrics = ctx.measureText(TITLE);
        var textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,TITLE,-WIDTH/2+textWidth,HEIGHT/2-30,"grey",18);

        // 右下角作者，日期
        const waterMarkTxt="逆火原创@"+(new Date()).toLocaleDateString();
        metrics = ctx.measureText(waterMarkTxt);
        textWidth = metrics.width;
        drawText(ctx,waterMarkTxt,WIDTH/2-textWidth,-HEIGHT/2,"lightGrey",16);
    };
    
    return obj;
}

// 描绘并标识一个点
function paintPoint(ctx,x,y,text,color){
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,4,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.stroke();
    drawText(ctx,text,x*ScaleUnit+9,y*ScaleUnit-5,color,12);
}

// 连点成线画曲线
function paintCurve(ctx,color,cds){
    ctx.strokeStyle = color;
    ctx.beginPath();     
    for(var i=0; i<cds.length; i++){
        let y=cds[i].y;
        if(Math.abs(cds[i].y*ScaleUnit)<300){
            ctx.lineTo(cds[i].x*ScaleUnit,cds[i].y*ScaleUnit);
        }
    }     
    ctx.stroke();        
}

// 找到坐标数组的最大最小值
function findMaxMin(cds){
    if(cds.length<1){
        return null;
    }

    var retval={max:-10000,max_x:0,min:10000,min_x:0};

    for(var i=0;i<cds.length;i++){
        var y=cds[i].y;

        if(y>retval.max){
            retval.max=y;
            retval.max_x=cds[i].x;
        }

        if(y<retval.min){
            retval.min=y;
            retval.min_x=cds[i].x;
        }
    } 

    return retval;
}

// 绘出最大最小值
function markMaxMin(ctx,mm,color){
    if(mm==null){
        return;
    }

    // 最大值
    var x=mm.max_x;
    var y=mm.max;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="max@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,color,12);

    // 最小值
    var x=mm.min_x;
    var y=mm.min;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.beginPath();
    ctx.arc(x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,5,0,Math.PI*2,false);
    ctx.closePath();
    ctx.stroke();
    var text="min@x="+x.toFixed(3)+" y="+y.toFixed(3);
    drawText(ctx,text,x*ScaleUnit,y*ScaleUnit,color,12);
}

// 定点画实心圆
function drawSolidCircle(ctx,x,y,r,color){
      ctx.save();

      ctx.beginPath();
      ctx.arc(x,y,r,0,2*Math.PI);
      ctx.fillStyle=color;
      ctx.fill();
      ctx.stroke();

      ctx.restore();
}

// 两点之间画线段
function drawLine(ctx,x1,y1,x2,y2,color){
    ctx.save();

    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle=color;
    ctx.fillStyle=color;

    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(x1,y1);
    ctx.lineTo(x2,y2);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    ctx.restore();
}

// 画横轴
function drawAxisX(ctx,start,end,step){
	const AXISY_COLOR="black";

    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(start, 0);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(end, 0);
    ctx.lineTo(end-Math.cos(getRad(15))*10, -Math.sin(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    y=5;
    for(x=start;x<end;x+=step){
		if(x==0){
			continue;
		}

        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, 0);
        ctx.lineTo(x, y);
        
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();

        drawText(ctx,x/ScaleUnit+"",x,y-20,AXISY_COLOR,12);
    }

    ctx.restore();
}

// 画纵轴
function drawAxisY(ctx,start,end,step){
	const AXISY_COLOR="black";
		
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.5;
    ctx.strokeStyle=AXISY_COLOR;

    // 画轴
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(0, start);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();

    // 画箭头
    ctx.beginPath();
    ctx.moveTo(Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.lineTo(0, end);
    ctx.lineTo(-Math.sin(getRad(15))*10, end-Math.cos(getRad(15))*10);
    ctx.stroke();
    ctx.closePath();
    
    // 画刻度
    var x,y;
    x=5;
    for(y=start;y<end;y+=step){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y);
        ctx.lineTo(0, y);
        
		var text=y/ScaleUnit+"";
        var metrics = ctx.measureText(text);
        var textWidth = metrics.width;

        drawText(ctx,text,x-textWidth-5,y,AXISY_COLOR,12);

        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    ctx.restore();
}

// 画网格线
function drawGrid(ctx,x1,y1,step1,x2,y2,step2){
    ctx.save();
    
    ctx.lineWidth=0.25;
    ctx.strokeStyle="lightgrey";    

	// 分十格
    var x,y;
    for(x=x1;x<x2;x+=step1/10){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2/10){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
        ctx.closePath();
    }

	// 十小格间的分割线
	ctx.lineWidth=0.25;
	ctx.strokeStyle="grey";
	ctx.setLineDash([5,5]);// 设置虚线,起止点间包含五空格五划线共十段

	for(x=x1;x<x2;x+=step1){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x, y1);
        ctx.lineTo(x, y2);
        ctx.stroke();
    }

    for(y=y1;y<y2;y+=step2){
        ctx.beginPath();
        ctx.moveTo(x1, y);
        ctx.lineTo(x2, y);
        ctx.stroke();
    }

    ctx.restore();
}

//-------------------------------
// 角度得到弧度
//-------------------------------
function getRad(degree){
    return degree/180*Math.PI;
}

//-------------------------------
// 得到颜色
//-------------------------------
function getColor(index){
    var arr=[
        "aqua"/* aqua湖绿色*/,
        "black"/* black黑色*/,
        "blue"/* blue蓝色*/,
        "fuchsia"/* fuchsia 紫红*/,
        "green"/* green 绿色*/,
        "grey"/* grey 草木灰*/,
        "lime"/* lime 亮绿色*/,
        "maroon"/* maroon 棕色*/,
        "navy"/* navy 海军蓝*/,
        "orange"/* orange 橙色*/,
        "purple"/* purple 紫色*/,
        "red"/* red 大红*/,        
        "skyblue"/* skyblue 天蓝*/,
        "teal"/* teal 蓝绿色*/,
        "yellow"/* yellow 亮黄*/,
        "#aa0000"/* #aa0000 铁锈红*/,        
    ];

    if(index>arr.length){
        index=index % arr.length;
    }

    return arr[index];
}

//-------------------------------------
// 绘制文字,指定颜色
// ctx:绘图环境
// text:文字
// x,y:坐标
// color:颜色
// size:字体大小
//-------------------------------------
function drawText(ctx,text,x,y,color,size){
    ctx.save();
    ctx.translate(x,y)
    ctx.rotate(getRad(180))
    ctx.scale(-1,1)

    ctx.textBaseline="bottom";
    ctx.textAlign="center";
    ctx.fillStyle=color;
    ctx.font = size+"px consolas";

    ctx.fillText(text,0,0);
    ctx.restore();
}

// JS开立方
function kaiLiFang(x){
    if(x>0){
        return Math.pow(x,1/3);
    }else{
        return -Math.pow(-x,1/3);
    }
}
//-->
/**************************************
青春年华留不住，
金钱财富易散尽，
智慧知识伴一生。
**************************************/
</script>